Theorem sefvex 5216

Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sefvex	⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem sefvex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2604	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ V)
3		simp3 940	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴𝐹𝑥)
4		simp2 939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴 ∈ V)
5		brcnvg 4534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥◡𝐹𝐴 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
6	1, 4, 5	sylancr 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → (𝑥◡𝐹𝐴 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
7	3, 6	mpbird 165	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥◡𝐹𝐴)
8		breq1 3788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦◡𝐹𝐴 ↔ 𝑥◡𝐹𝐴))
9	8	elrab 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥◡𝐹𝐴))
10	2, 7, 9	sylanbrc 408	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
11		elssuni 3629	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
13	12	3expia 1140	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}))
14	13	alrimiv 1795	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑥(𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}))
15		fvss 5209	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
17		seex 4090	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
18		uniexg 4193	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V → ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
19	17, 18	syl 14	. 2 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
20		ssexg 3917	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∧ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
21	16, 19, 20	syl2anc 403	1 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 919  ∀wal 1282   ∈ wcel 1433  {crab 2352  Vcvv 2601   ⊆ wss 2973  ∪ cuni 3601   class class class wbr 3785   Se wse 4084  ^◡ccnv 4362  ‘cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-se 4088  df-cnv 4371  df-iota 4887  df-fv 4930

This theorem is referenced by: (None)