Theorem shftdm 9710

Description: Domain of a relation shifted by A. The set on the right is more commonly notated as ( dom F + A ) (meaning add A to every element of dom F). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftdm	|- ( A e. CC -> dom ( F shift A ) = { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem shftdm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . 4 |- F e. _V
2	1	shftfval 9709	. . 3 |- ( A e. CC -> ( F shift A ) = { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } )
3	2	dmeqd 4555	. 2 |- ( A e. CC -> dom ( F shift A ) = dom { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } )
4		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> x e. CC )
5		simpl 107	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> A e. CC )
6	4, 5	subcld 7419	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( x - A ) e. CC )
7		eldmg 4548	. . . . . . 7 |- ( ( x - A ) e. CC -> ( ( x - A ) e. dom F <-> E. y ( x - A ) F y ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) e. dom F <-> E. y ( x - A ) F y ) )
9	8	pm5.32da 439	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) <-> ( x e. CC /\ E. y ( x - A ) F y ) ) )
10		19.42v 1827	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) <-> ( x e. CC /\ E. y ( x - A ) F y ) )
11	9, 10	syl6rbbr 197	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) <-> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) ) )
12	11	abbidv 2196	. . 3 |- ( A e. CC -> { x | E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) } )
13		dmopab 4564	. . 3 |- dom { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { x | E. y ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) }
14		df-rab 2357	. . 3 |- { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } = { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. dom F ) }
15	12, 13, 14	3eqtr4g 2138	. 2 |- ( A e. CC -> dom { <. x , y >. | ( x e. CC /\ ( x - A ) F y ) } = { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } )
16	3, 15	eqtrd 2113	1 |- ( A e. CC -> dom ( F shift A ) = { x e. CC | ( x - A ) e. dom F } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   {cab 2067   {crab 2352   _Vcvv 2601   class class class wbr 3785   {copab 3838   dom cdm 4363  (class class class)co 5532   CCcc 6979   - cmin 7279   shift cshi 9702

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-shft 9703

This theorem is referenced by:  shftfn  9712