Theorem trint 3890

Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Exercise 5(b) of [Enderton] p. 73. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
trint	|- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem trint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr3 3879	. . . . . 6 |- ( Tr x <-> A. y e. x y C_ x )
2	1	ralbii 2372	. . . . 5 |- ( A. x e. A Tr x <-> A. x e. A A. y e. x y C_ x )
3	2	biimpi 118	. . . 4 |- ( A. x e. A Tr x -> A. x e. A A. y e. x y C_ x )
4		df-ral 2353	. . . . . 6 |- ( A. y e. x y C_ x <-> A. y ( y e. x -> y C_ x ) )
5	4	ralbii 2372	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. x y C_ x <-> A. x e. A A. y ( y e. x -> y C_ x ) )
6		ralcom4 2621	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y ( y e. x -> y C_ x ) <-> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
7	5, 6	bitri 182	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. x y C_ x <-> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
8	3, 7	sylib 120	. . 3 |- ( A. x e. A Tr x -> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
9		ralim 2422	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) -> ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
10	9	alimi 1384	. . 3 |- ( A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) -> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
11	8, 10	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A Tr x -> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
12		dftr3 3879	. . 3 |- ( Tr |^| A <-> A. y e. |^| A y C_ |^| A )
13		df-ral 2353	. . . 4 |- ( A. y e. |^| A y C_ |^| A <-> A. y ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) )
14		vex 2604	. . . . . . 7 |- y e. _V
15	14	elint2 3643	. . . . . 6 |- ( y e. |^| A <-> A. x e. A y e. x )
16		ssint 3652	. . . . . 6 |- ( y C_ |^| A <-> A. x e. A y C_ x )
17	15, 16	imbi12i 237	. . . . 5 |- ( ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) <-> ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
18	17	albii 1399	. . . 4 |- ( A. y ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
19	13, 18	bitri 182	. . 3 |- ( A. y e. |^| A y C_ |^| A <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
20	12, 19	bitri 182	. 2 |- ( Tr |^| A <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
21	11, 20	sylibr 132	1 |- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1282   e. wcel 1433   A.wral 2348   C_ wss 2973   |^|cint 3636   Tr wtr 3875

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-in 2979  df-ss 2986  df-uni 3602  df-int 3637  df-tr 3876

This theorem is referenced by:  onintonm  4261