Theorem ssint 3652

Description: Subclass of a class intersection. Theorem 5.11(viii) of [Monk1] p. 52 and its converse. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ssint	|- ( A C_ |^| B <-> A. x e. B A C_ x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ssint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 2989	. 2 |- ( A C_ |^| B <-> A. y e. A y e. |^| B )
2		vex 2604	. . . 4 |- y e. _V
3	2	elint2 3643	. . 3 |- ( y e. |^| B <-> A. x e. B y e. x )
4	3	ralbii 2372	. 2 |- ( A. y e. A y e. |^| B <-> A. y e. A A. x e. B y e. x )
5		ralcom 2517	. . 3 |- ( A. y e. A A. x e. B y e. x <-> A. x e. B A. y e. A y e. x )
6		dfss3 2989	. . . 4 |- ( A C_ x <-> A. y e. A y e. x )
7	6	ralbii 2372	. . 3 |- ( A. x e. B A C_ x <-> A. x e. B A. y e. A y e. x )
8	5, 7	bitr4i 185	. 2 |- ( A. y e. A A. x e. B y e. x <-> A. x e. B A C_ x )
9	1, 4, 8	3bitri 204	1 |- ( A C_ |^| B <-> A. x e. B A C_ x )

Syntax hints:   <-> wb 103   e. wcel 1433   A.wral 2348   C_ wss 2973   |^|cint 3636

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-in 2979  df-ss 2986  df-int 3637

This theorem is referenced by:  ssintab  3653  ssintub  3654  iinpw  3763  trint  3890  fintm  5095  bj-ssom  10731