Theorem unidif0 3941

Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unidif0	|- U. ( A \ { (/) } ) = U. A

Proof of Theorem unidif0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3256	. . . . . . 7 |- ( x e. y -> -. y = (/) )
2	1	pm4.71i 383	. . . . . 6 |- ( x e. y <-> ( x e. y /\ -. y = (/) ) )
3	2	anbi1i 445	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. A ) <-> ( ( x e. y /\ -. y = (/) ) /\ y e. A ) )
4		an32 526	. . . . 5 |- ( ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. y = (/) ) <-> ( ( x e. y /\ -. y = (/) ) /\ y e. A ) )
5		anass 393	. . . . 5 |- ( ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. y = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr2ri 207	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) <-> ( x e. y /\ y e. A ) )
7	6	exbii 1536	. . 3 |- ( E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
8		eluni 3604	. . . 4 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) )
9		eldif 2982	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A \ { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y e. { (/) } ) )
10		velsn 3415	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
11	10	notbii 626	. . . . . . . 8 |- ( -. y e. { (/) } <-> -. y = (/) )
12	11	anbi2i 444	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ -. y e. { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y = (/) ) )
13	9, 12	bitri 182	. . . . . 6 |- ( y e. ( A \ { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y = (/) ) )
14	13	anbi2i 444	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
15	14	exbii 1536	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) <-> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
16	8, 15	bitri 182	. . 3 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
17		eluni 3604	. . 3 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
18	7, 16, 17	3bitr4i 210	. 2 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> x e. U. A )
19	18	eqriv 2078	1 |- U. ( A \ { (/) } ) = U. A

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   \ cdif 2970   (/)c0 3251   {csn 3398   U.cuni 3601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-dif 2975  df-nul 3252  df-sn 3404  df-uni 3602

This theorem is referenced by: (None)