Theorem 0cn 7111

Description: 0 is a complex number. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
0cn	⊢ 0 ∈ ℂ

Proof of Theorem 0cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-i2m1 7081	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
2		ax-icn 7071	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
3		mulcl 7100	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (i · i) ∈ ℂ)
4	2, 2, 3	mp2an 416	. . 3 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
5		ax-1cn 7069	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		addcl 7098	. . 3 ⊢ (((i · i) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · i) + 1) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 416	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) ∈ ℂ
8	1, 7	eqeltrri 2152	1 ⊢ 0 ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  0cc0 6981  1c1 6982  ici 6983   + caddc 6984   · cmul 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1376  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-ial 1467  ax-ext 2063  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-mulcl 7074  ax-i2m1 7081

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-cleq 2074  df-clel 2077

This theorem is referenced by:  0cnd  7112  c0ex  7113  addid2  7247  00id  7249  cnegexlem2  7284  negcl  7308  subid  7327  subid1  7328  neg0  7354  negid  7355  negsub  7356  subneg  7357  negneg  7358  negeq0  7362  negsubdi  7364  renegcl  7369  mul02  7491  mul01  7493  mulneg1  7499  ixi  7683  negap0  7729  muleqadd  7758  divvalap  7762  div0ap  7790  recgt0  7928  0m0e0  8151  2muline0  8256  elznn0  8366  iser0  9471  0exp0e1  9481  expeq0  9507  0exp  9511  sq0  9566  ibcval5  9690  shftval3  9715  shftidt2  9720  cjap0  9794  cjne0  9795  abs0  9944  abs00  9950  abs2dif  9992  clim0  10124  climz  10131  iserclim0  10144