Theorem ixi 7683

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 7282	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 7081	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 7111	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 7069	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 7071	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 7124	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 7396	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 144	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2102	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1284  (class class class)co 5532  0cc0 6981  1c1 6982  ici 6983   + caddc 6984   · cmul 6986   − cmin 7279  -cneg 7280

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-neg 7282

This theorem is referenced by:  inelr  7684  mulreim  7704  recextlem1  7741  cju  8038  irec  9574  i2  9575  crre  9744  remim  9747  remullem  9758  absi  9945