Theorem 0disj 3782

Description: Any collection of empty sets is disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0disj	⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∅

Proof of Theorem 0disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3282	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ {𝑥}
2	1	rgenw 2418	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∅ ⊆ {𝑥}
3		sndisj 3781	. 2 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}
4		disjss2 3769	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∅ ⊆ {𝑥} → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∅))
5	2, 3, 4	mp2 16	1 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∅

Syntax hints:  ∀wral 2348   ⊆ wss 2973  ∅c0 3251  {csn 3398  Disj wdisj 3766

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rmo 2356  df-v 2603  df-dif 2975  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-sn 3404  df-disj 3767

This theorem is referenced by: (None)