Theorem 0fv 5229

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 4930	. 2 ⊢ (∅‘𝐴) = (℩𝑥𝐴∅𝑥)
2		noel 3255	. . . . . 6 ⊢ ¬ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ ∅
3		df-br 3786	. . . . . 6 ⊢ (𝐴∅𝑥 ↔ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ ∅)
4	2, 3	mtbir 628	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴∅𝑥
5	4	nex 1429	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 𝐴∅𝑥
6		euex 1971	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 𝐴∅𝑥 → ∃𝑥 𝐴∅𝑥)
7	5, 6	mto 620	. . 3 ⊢ ¬ ∃!𝑥 𝐴∅𝑥
8		iotanul 4902	. . 3 ⊢ (¬ ∃!𝑥 𝐴∅𝑥 → (℩𝑥𝐴∅𝑥) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 7	. 2 ⊢ (℩𝑥𝐴∅𝑥) = ∅
10	1, 9	eqtri 2101	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1284  ∃wex 1421   ∈ wcel 1433  ∃!weu 1941  ∅c0 3251  ⟨cop 3401   class class class wbr 3785  ℩cio 4885  ‘cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-sn 3404  df-uni 3602  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930

This theorem is referenced by: (None)