Theorem 0fv 5229

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	|- ( (/) ` A ) = (/)

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 4930	. 2 |- ( (/) ` A ) = ( iota x A (/) x )
2		noel 3255	. . . . . 6 |- -. <. A , x >. e. (/)
3		df-br 3786	. . . . . 6 |- ( A (/) x <-> <. A , x >. e. (/) )
4	2, 3	mtbir 628	. . . . 5 |- -. A (/) x
5	4	nex 1429	. . . 4 |- -. E. x A (/) x
6		euex 1971	. . . 4 |- ( E! x A (/) x -> E. x A (/) x )
7	5, 6	mto 620	. . 3 |- -. E! x A (/) x
8		iotanul 4902	. . 3 |- ( -. E! x A (/) x -> ( iota x A (/) x ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 7	. 2 |- ( iota x A (/) x ) = (/)
10	1, 9	eqtri 2101	1 |- ( (/) ` A ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   E!weu 1941   (/)c0 3251   <.cop 3401   class class class wbr 3785   iotacio 4885   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-sn 3404  df-uni 3602  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930

This theorem is referenced by: (None)