Theorem 2optocl 4435

Description: Implicit substitution of classes for ordered pairs. (Contributed by NM, 12-Mar-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
2optocl.1	⊢ 𝑅 = (𝐶 × 𝐷)
2optocl.2	⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2optocl.3	⊢ (⟨𝑧, 𝑤⟩ = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2optocl.4	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
2optocl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤   𝑧,𝑅,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝜓(𝑧,𝑤)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2optocl.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐶 × 𝐷)
2		2optocl.3	. . . 4 ⊢ (⟨𝑧, 𝑤⟩ = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (⟨𝑧, 𝑤⟩ = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑅 → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝜒)))
4		2optocl.2	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	4	imbi2d 228	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜑) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜓)))
6		2optocl.4	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝜑)
7	6	ex 113	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜑))
8	1, 5, 7	optocl 4434	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜓))
9	8	com12 30	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝜓))
10	1, 3, 9	optocl 4434	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑅 → (𝐴 ∈ 𝑅 → 𝜒))
11	10	impcom 123	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401   × cxp 4361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-xp 4369

This theorem is referenced by:  3optocl  4436  ecopovsym  6225  ecopovsymg  6228  th3qlem2  6232  axaddcom  7036