Theorem dvds2lem 10207

Description: A lemma to assist theorems of ∥ with two antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvds2lem.1	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
dvds2lem.2	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
dvds2lem.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
dvds2lem.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ ℤ)
dvds2lem.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿) → (𝑍 · 𝑀) = 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
dvds2lem	⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) → 𝑀 ∥ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvds2lem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvds2lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
2		dvds2lem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
3		divides 10197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 ∥ 𝐽 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐼) = 𝐽))
4		divides 10197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿))
5	3, 4	bi2anan9 570	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿)))
6	1, 2, 5	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿)))
7	6	biimpd 142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿)))
8		reeanv 2523	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿))
9	7, 8	syl6ibr 160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿)))
10		dvds2lem.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑍 ∈ ℤ)
11		dvds2lem.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿) → (𝑍 · 𝑀) = 𝑁))
12		oveq1 5539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 · 𝑀) = (𝑍 · 𝑀))
13	12	eqeq1d 2089	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑍 · 𝑀) = 𝑁))
14	13	rspcev 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁)
15	10, 11, 14	syl6an 1363	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
16	15	rexlimdvva 2484	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 · 𝐼) = 𝐽 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝐿) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
17	9, 16	syld 44	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) → ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
18		dvds2lem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
19		divides 10197	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
20	18, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑀) = 𝑁))
21	17, 20	sylibrd 167	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∥ 𝐽 ∧ 𝐾 ∥ 𝐿) → 𝑀 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   · cmul 6986  ℤcz 8351   ∥ cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  dvds2ln  10228  dvds2add  10229  dvds2sub  10230  dvdstr  10232