Theorem dvds2add 10229

Description: If an integer divides each of two other integers, it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds2add	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem dvds2add

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 935	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2		3simpb 936	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3		zaddcl 8391	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	anim2i 334	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
5	4	3impb 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
6		zaddcl 8391	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
7	6	adantl 271	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
8		zcn 8356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		zcn 8356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
10		zcn 8356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
11		adddir 7110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) + (𝑦 · 𝐾)))
12	8, 9, 10, 11	syl3an 1211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) + (𝑦 · 𝐾)))
13	12	3comr 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) + (𝑦 · 𝐾)))
14	13	3expb 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) + (𝑦 · 𝐾)))
15		oveq12 5541	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑥 · 𝐾) + (𝑦 · 𝐾)) = (𝑀 + 𝑁))
16	14, 15	sylan9eq 2133	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = (𝑀 + 𝑁))
17	16	ex 113	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = (𝑀 + 𝑁)))
18	17	3ad2antl1 1100	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = (𝑀 + 𝑁)))
19	1, 2, 5, 7, 18	dvds2lem 10207	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℂcc 6979   + caddc 6984   · cmul 6986  ℤcz 8351   ∥ cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  dvdssub2  10237  dvdsadd2b  10242  bezoutlemstep  10386  bezoutlembi  10394  dvdsmulgcd  10414  bezoutr  10421