Theorem sucelon 4247

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sucelon	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceloni 4245	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4130	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
3		elex 2610	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
4		sucexb 4241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
5	3, 4	sylibr 132	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ V)
6		elong 4128	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
7		ordsucg 4246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
8	6, 7	bitrd 186	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
9	5, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
10	2, 9	mpbird 165	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ On)
11	1, 10	impbii 124	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 103   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601  Ord word 4117  Oncon0 4118  suc csuc 4120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-tr 3876  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126

This theorem is referenced by:  onsucmin  4251  onsucuni2  4307