Theorem prnzg 3514

Description: A pair containing a set is not empty. (Contributed by FL, 19-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prnzg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)

Proof of Theorem prnzg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1 3469	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥, 𝐵} = {𝐴, 𝐵})
2	1	neeq1d 2263	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝑥, 𝐵} ≠ ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅))
3		vex 2604	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	prnz 3512	. 2 ⊢ {𝑥, 𝐵} ≠ ∅
5	2, 4	vtoclg 2658	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245  ∅c0 3251  {cpr 3399

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-nul 3252  df-sn 3404  df-pr 3405

This theorem is referenced by:  0nelop  4003