Theorem rpregt0d 8780

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 8773	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 8776	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 300	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ℝcr 6980  0cc0 6981   < clt 7153  ℝ⁺crp 8734

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rab 2357  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-rp 8735

This theorem is referenced by:  reclt1d  8787  recgt1d  8788  ltrecd  8792  lerecd  8793  ltrec1d  8794  lerec2d  8795  lediv2ad  8796  ltdiv2d  8797  lediv2d  8798  ledivdivd  8799  divge0d  8814  ltmul1d  8815  ltmul2d  8816  lemul1d  8817  lemul2d  8818  ltdiv1d  8819  lediv1d  8820  ltmuldivd  8821  ltmuldiv2d  8822  lemuldivd  8823  lemuldiv2d  8824  ltdivmuld  8825  ltdivmul2d  8826  ledivmuld  8827  ledivmul2d  8828  ltdiv23d  8834  lediv23d  8835  lt2mul2divd  8836  isprm6  10526