Theorem rspc2ev 2715

Description: 2-variable restricted existential specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
rspc2v.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspc2ev	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐶 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝜒,𝑥   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem rspc2ev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc2v.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜒 ↔ 𝜓))
2	1	rspcev 2701	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝜓) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜒)
3	2	anim2i 334	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝜓)) → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜒))
4	3	3impb 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝜓) → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜒))
5		rspc2v.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
6	5	rexbidv 2369	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜒))
7	6	rspcev 2701	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜒) → ∃𝑥 ∈ 𝐶 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜑)
8	4, 7	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐶 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603

This theorem is referenced by:  rspc3ev  2717  opelxp  4392  rspceov  5567  2dom  6308  apreim  7703  addcn2  10149  mulcn2  10151  divalglemnn  10318  bezoutlema  10388  bezoutlemb  10389