Theorem bezoutlemb 10389

Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout condition is satisfied by 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlema.is-bezout	⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlema.a	⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlema.b	⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemb	⊢ (𝜃 → [𝐵 / 𝑟]𝜑)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem bezoutlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 8362	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 8377	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		bezoutlema.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 8343	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	mul01d 7497	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐴 · 0) = 0)
6	5	oveq1d 5547	. . . 4 ⊢ (𝜃 → ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1)) = (0 + (𝐵 · 1)))
7		bezoutlema.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 8343	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℂ)
9		1cnd 7135	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 1 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 7139	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐵 · 1) ∈ ℂ)
11	10	addid2d 7258	. . . 4 ⊢ (𝜃 → (0 + (𝐵 · 1)) = (𝐵 · 1))
12	8	mulid1d 7136	. . . 4 ⊢ (𝜃 → (𝐵 · 1) = 𝐵)
13	6, 11, 12	3eqtrrd 2118	. . 3 ⊢ (𝜃 → 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1)))
14		oveq2 5540	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐴 · 𝑠) = (𝐴 · 0))
15	14	oveq1d 5547	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡)))
16	15	eqeq2d 2092	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡))))
17		oveq2 5540	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 1 → (𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · 1))
18	17	oveq2d 5548	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 1 → ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1)))
19	18	eqeq2d 2092	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 1 → (𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1))))
20	16, 19	rspc2ev 2715	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1))) → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
21	1, 2, 13, 20	mp3an12i 1272	. 2 ⊢ (𝜃 → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
22		bezoutlema.is-bezout	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
23		eqeq1 2087	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
24	23	2rexbidv 2391	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
25	22, 24	syl5bb 190	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
26	25	sbcieg 2846	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ([𝐵 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
27	7, 26	syl 14	. 2 ⊢ (𝜃 → ([𝐵 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
28	21, 27	mpbird 165	1 ⊢ (𝜃 → [𝐵 / 𝑟]𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349  [wsbc 2815  (class class class)co 5532  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  bezoutlemex  10390