Theorem zfregfr 4316

Description: The epsilon relation is well-founded on any class. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
zfregfr	⊢ E Fr 𝐴

Proof of Theorem zfregfr

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-frind 4087	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑠 FrFor E 𝐴𝑠)
2		bi2.04 246	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
3	2	albii 1399	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
4		df-ral 2353	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠)))
5	3, 4	bitr4i 185	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))
6		sbim 1868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴 → [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝑠))
7		clelsb3 2183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴)
8		clelsb3 2183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝑠 ↔ 𝑦 ∈ 𝑠)
9	7, 8	imbi12i 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (([𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴 → [𝑦 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝑠))
10	6, 9	bitri 182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝑠))
11	10	ralbii 2372	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝑠))
12		ralcom3 2521	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑠))
13	11, 12	bitri 182	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑠))
14		epel 4047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 E 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑥)
15	14	imbi1i 236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 E 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑠) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑠))
16	15	ralbii 2372	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 E 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑠))
17	13, 16	bitr4i 185	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 E 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑠))
18	17	imbi1i 236	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 E 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))
19	18	ralbii 2372	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 E 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))
20	5, 19	bitri 182	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 E 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠))
21		ax-setind 4280	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠)) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠))
22		dfss2 2988	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠))
23	21, 22	sylibr 132	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦 ∈ 𝑥 [𝑦 / 𝑥](𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑠)) → 𝐴 ⊆ 𝑠)
24	20, 23	sylbir 133	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 E 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) → 𝐴 ⊆ 𝑠)
25		df-frfor 4086	. . 3 ⊢ ( FrFor E 𝐴𝑠 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 E 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑠) → 𝐴 ⊆ 𝑠))
26	24, 25	mpbir 144	. 2 ⊢ FrFor E 𝐴𝑠
27	1, 26	mpgbir 1382	1 ⊢ E Fr 𝐴

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1282   ∈ wcel 1433  [wsb 1685  ∀wral 2348   ⊆ wss 2973   class class class wbr 3785   E cep 4042   FrFor wfrfor 4082   Fr wfr 4083

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-eprel 4044  df-frfor 4086  df-frind 4087

This theorem is referenced by:  ordfr  4317  wessep  4320  reg3exmidlemwe  4321