Theorem zfregfr 4316

Description: The epsilon relation is well-founded on any class. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
zfregfr	|- _E Fr A

Proof of Theorem zfregfr

Dummy variables s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-frind 4087	. 2 |- ( _E Fr A <-> A. sFrFor _E A s )
2		bi2.04 246	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> ( x e. A -> ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) ) )
3	2	albii 1399	. . . . . 6 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> A. x ( x e. A -> ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) ) )
4		df-ral 2353	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) <-> A. x ( x e. A -> ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) ) )
5	3, 4	bitr4i 185	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> A. x e. A ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) )
6		sbim 1868	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> ( [ y / x ] x e. A -> [ y / x ] x e. s ) )
7		clelsb3 2183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ y / x ] x e. A <-> y e. A )
8		clelsb3 2183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ y / x ] x e. s <-> y e. s )
9	7, 8	imbi12i 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [ y / x ] x e. A -> [ y / x ] x e. s ) <-> ( y e. A -> y e. s ) )
10	6, 9	bitri 182	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> ( y e. A -> y e. s ) )
11	10	ralbii 2372	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> A. y e. x ( y e. A -> y e. s ) )
12		ralcom3 2521	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x ( y e. A -> y e. s ) <-> A. y e. A ( y e. x -> y e. s ) )
13	11, 12	bitri 182	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> A. y e. A ( y e. x -> y e. s ) )
14		epel 4047	. . . . . . . . . 10 |- ( y _E x <-> y e. x )
15	14	imbi1i 236	. . . . . . . . 9 |- ( ( y _E x -> y e. s ) <-> ( y e. x -> y e. s ) )
16	15	ralbii 2372	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) <-> A. y e. A ( y e. x -> y e. s ) )
17	13, 16	bitr4i 185	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) <-> A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) )
18	17	imbi1i 236	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) <-> ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) )
19	18	ralbii 2372	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> x e. s ) <-> A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) )
20	5, 19	bitri 182	. . . 4 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) <-> A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) )
21		ax-setind 4280	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) -> A. x ( x e. A -> x e. s ) )
22		dfss2 2988	. . . . 5 |- ( A C_ s <-> A. x ( x e. A -> x e. s ) )
23	21, 22	sylibr 132	. . . 4 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] ( x e. A -> x e. s ) -> ( x e. A -> x e. s ) ) -> A C_ s )
24	20, 23	sylbir 133	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s )
25		df-frfor 4086	. . 3 |- (FrFor _E A s <-> ( A. x e. A ( A. y e. A ( y _E x -> y e. s ) -> x e. s ) -> A C_ s ) )
26	24, 25	mpbir 144	. 2 |- FrFor _E A s
27	1, 26	mpgbir 1382	1 |- _E Fr A

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1282   e. wcel 1433   [wsb 1685   A.wral 2348   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   _E cep 4042  FrFor wfrfor 4082   Fr wfr 4083

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-eprel 4044  df-frfor 4086  df-frind 4087

This theorem is referenced by:  ordfr  4317  wessep  4320  reg3exmidlemwe  4321