Theorem 0nelop 4960

Description: A property of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelop	|- -. (/) e. <. A , B >.

Proof of Theorem 0nelop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) e. <. A , B >. )
2		oprcl 4427	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3		dfopg 4400	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
5	1, 4	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) e. { { A } , { A , B } } )
6		elpri 4197	. . 3 |- ( (/) e. { { A } , { A , B } } -> ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
8	2	simpld 475	. . . . . 6 |- ( (/) e. <. A , B >. -> A e. _V )
9		snnzg 4308	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> { A } =/= (/) )
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> { A } =/= (/) )
11	10	necomd 2849	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) =/= { A } )
12		prnzg 4311	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> { A , B } =/= (/) )
13	8, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( (/) e. <. A , B >. -> { A , B } =/= (/) )
14	13	necomd 2849	. . . 4 |- ( (/) e. <. A , B >. -> (/) =/= { A , B } )
15	11, 14	jca 554	. . 3 |- ( (/) e. <. A , B >. -> ( (/) =/= { A } /\ (/) =/= { A , B } ) )
16		neanior 2886	. . 3 |- ( ( (/) =/= { A } /\ (/) =/= { A , B } ) <-> -. ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
17	15, 16	sylib 208	. 2 |- ( (/) e. <. A , B >. -> -. ( (/) = { A } \/ (/) = { A , B } ) )
18	7, 17	pm2.65i 185	1 |- -. (/) e. <. A , B >.

Syntax hints:   -. wn 3   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184

This theorem is referenced by:  opwo0id  4961  0nelelxp  5145