Theorem 2eu1 2553

Description: Double existential uniqueness. This theorem shows a condition under which a "naive" definition matches the correct one. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 11-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
2eu1	|- ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph <-> ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) ) )

Proof of Theorem 2eu1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2eu2ex 2546	. . . . 5 |- ( E! x E! y ph -> E. x E. y ph )
2		df-mo 2475	. . . . . . 7 |- ( E* y ph <-> ( E. y ph -> E! y ph ) )
3	2	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. x E* y ph <-> A. x ( E. y ph -> E! y ph ) )
4		euim 2523	. . . . . . 7 |- ( ( E. x E. y ph /\ A. x ( E. y ph -> E! y ph ) ) -> ( E! x E! y ph -> E! x E. y ph ) )
5	4	ex 450	. . . . . 6 |- ( E. x E. y ph -> ( A. x ( E. y ph -> E! y ph ) -> ( E! x E! y ph -> E! x E. y ph ) ) )
6	3, 5	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph -> E! x E. y ph ) ) )
7	1, 6	syl 17	. . . 4 |- ( E! x E! y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph -> E! x E. y ph ) ) )
8	7	pm2.43b 55	. . 3 |- ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph -> E! x E. y ph ) )
9		2euswap 2548	. . . 4 |- ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) )
10	8, 9	syld 47	. . 3 |- ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph -> E! y E. x ph ) )
11	8, 10	jcad 555	. 2 |- ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph -> ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) ) )
12		2exeu 2549	. 2 |- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) -> E! x E! y ph )
13	11, 12	impbid1 215	1 |- ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph <-> ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   E!weu 2470   E*wmo 2471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-eu 2474  df-mo 2475

This theorem is referenced by:  2eu2  2554  2eu3  2555  2eu5  2557