Theorem 2reu5a 41177

Description: Double restricted existential uniqueness in terms of restricted existence and restricted "at most one." (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu5a	|- ( E! x e. A E! y e. B ph <-> ( E. x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) /\ E* x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) ) )

Proof of Theorem 2reu5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reu5 3159	. 2 |- ( E! x e. A E! y e. B ph <-> ( E. x e. A E! y e. B ph /\ E* x e. A E! y e. B ph ) )
2		reu5 3159	. . . 4 |- ( E! y e. B ph <-> ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) )
3	2	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. x e. A E! y e. B ph <-> E. x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) )
4	2	rmobii 3133	. . 3 |- ( E* x e. A E! y e. B ph <-> E* x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) )
5	3, 4	anbi12i 733	. 2 |- ( ( E. x e. A E! y e. B ph /\ E* x e. A E! y e. B ph ) <-> ( E. x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) /\ E* x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) ) )
6	1, 5	bitri 264	1 |- ( E! x e. A E! y e. B ph <-> ( E. x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) /\ E* x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-12 2047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-eu 2474  df-mo 2475  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920

This theorem is referenced by:  2reu1  41186