Theorem 2reu1 41186

Description: Double restricted existential uniqueness. This theorem shows a condition under which a "naive" definition matches the correct one, analogous to 2eu1 2553. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu1	|- ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E! y e. B ph <-> ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)

Proof of Theorem 2reu1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2reu5a 41177	. . . . . 6 |- ( E! x e. A E! y e. B ph <-> ( E. x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) /\ E* x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) ) )
2		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ ( A. x e. A E* y e. B ph /\ E. y e. B ph ) ) -> E. y e. B ph )
3		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( x e. A -> E* y e. B ph ) )
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. A E* y e. B ph /\ E. y e. B ph ) -> ( x e. A -> E* y e. B ph ) )
5	4	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ ( A. x e. A E* y e. B ph /\ E. y e. B ph ) ) -> E* y e. B ph )
6	2, 5	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ ( A. x e. A E* y e. B ph /\ E. y e. B ph ) ) -> ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) )
7	6	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( ( A. x e. A E* y e. B ph /\ E. y e. B ph ) -> ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) ) )
8	7	rmoimia 3408	. . . . . . . . 9 |- ( E* x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) -> E* x e. A ( A. x e. A E* y e. B ph /\ E. y e. B ph ) )
9		nfra1 2941	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A. x e. A E* y e. B ph
10	9	rmoanim 41179	. . . . . . . . 9 |- ( E* x e. A ( A. x e. A E* y e. B ph /\ E. y e. B ph ) <-> ( A. x e. A E* y e. B ph -> E* x e. A E. y e. B ph ) )
11	8, 10	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( E* x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) -> ( A. x e. A E* y e. B ph -> E* x e. A E. y e. B ph ) )
12	11	ancrd 577	. . . . . . 7 |- ( E* x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) -> ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E* x e. A E. y e. B ph /\ A. x e. A E* y e. B ph ) ) )
13		2rmoswap 41184	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E* x e. A E. y e. B ph -> E* y e. B E. x e. A ph ) )
14	13	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( E* x e. A E. y e. B ph -> ( A. x e. A E* y e. B ph -> E* y e. B E. x e. A ph ) )
15	14	imdistani 726	. . . . . . 7 |- ( ( E* x e. A E. y e. B ph /\ A. x e. A E* y e. B ph ) -> ( E* x e. A E. y e. B ph /\ E* y e. B E. x e. A ph ) )
16	12, 15	syl6 35	. . . . . 6 |- ( E* x e. A ( E. y e. B ph /\ E* y e. B ph ) -> ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E* x e. A E. y e. B ph /\ E* y e. B E. x e. A ph ) ) )
17	1, 16	simplbiim 659	. . . . 5 |- ( E! x e. A E! y e. B ph -> ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E* x e. A E. y e. B ph /\ E* y e. B E. x e. A ph ) ) )
18		2reu2rex 41183	. . . . . 6 |- ( E! x e. A E! y e. B ph -> E. x e. A E. y e. B ph )
19		rexcom 3099	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. y e. B E. x e. A ph )
20	18, 19	sylib 208	. . . . . 6 |- ( E! x e. A E! y e. B ph -> E. y e. B E. x e. A ph )
21	18, 20	jca 554	. . . . 5 |- ( E! x e. A E! y e. B ph -> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. y e. B E. x e. A ph ) )
22	17, 21	jctild 566	. . . 4 |- ( E! x e. A E! y e. B ph -> ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. y e. B E. x e. A ph ) /\ ( E* x e. A E. y e. B ph /\ E* y e. B E. x e. A ph ) ) ) )
23		reu5 3159	. . . . . 6 |- ( E! x e. A E. y e. B ph <-> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E* x e. A E. y e. B ph ) )
24		reu5 3159	. . . . . 6 |- ( E! y e. B E. x e. A ph <-> ( E. y e. B E. x e. A ph /\ E* y e. B E. x e. A ph ) )
25	23, 24	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) <-> ( ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E* x e. A E. y e. B ph ) /\ ( E. y e. B E. x e. A ph /\ E* y e. B E. x e. A ph ) ) )
26		an4 865	. . . . 5 |- ( ( ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E* x e. A E. y e. B ph ) /\ ( E. y e. B E. x e. A ph /\ E* y e. B E. x e. A ph ) ) <-> ( ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. y e. B E. x e. A ph ) /\ ( E* x e. A E. y e. B ph /\ E* y e. B E. x e. A ph ) ) )
27	25, 26	bitri 264	. . . 4 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) <-> ( ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E. y e. B E. x e. A ph ) /\ ( E* x e. A E. y e. B ph /\ E* y e. B E. x e. A ph ) ) )
28	22, 27	syl6ibr 242	. . 3 |- ( E! x e. A E! y e. B ph -> ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) ) )
29	28	com12 32	. 2 |- ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E! y e. B ph -> ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) ) )
30		2rexreu 41185	. 2 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) -> E! x e. A E! y e. B ph )
31	29, 30	impbid1 215	1 |- ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E! y e. B ph <-> ( E! x e. A E. y e. B ph /\ E! y e. B E. x e. A ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920

This theorem is referenced by:  2reu2  41187  2reu3  41188