Theorem aceq0 8941

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. The right-hand side is our original ax-ac 9281. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
aceq0	|- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u, t

Proof of Theorem aceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq1 8940	. 2 |- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
2		equequ2 1953	. . . . . . . . . 10 |- ( v = x -> ( u = v <-> u = x ) )
3	2	bibi2d 332	. . . . . . . . 9 |- ( v = x -> ( ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = x ) ) )
4		elequ2 2004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( w e. t <-> w e. x ) )
5	4	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = x -> ( ( u e. w /\ w e. t ) <-> ( u e. w /\ w e. x ) ) )
6		elequ2 2004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( u e. t <-> u e. x ) )
7		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( t e. y <-> x e. y ) )
8	6, 7	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = x -> ( ( u e. t /\ t e. y ) <-> ( u e. x /\ x e. y ) ) )
9	5, 8	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = x -> ( ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) ) )
10	9	cbvexv 2275	. . . . . . . . . 10 |- ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) )
11	10	bibi1i 328	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = x ) <-> ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) )
12	3, 11	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( v = x -> ( ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) ) )
13	12	albidv 1849	. . . . . . 7 |- ( v = x -> ( A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> A. u ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) ) )
14		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( u e. w <-> z e. w ) )
15	14	anbi1d 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = z -> ( ( u e. w /\ w e. x ) <-> ( z e. w /\ w e. x ) ) )
16		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = z -> ( u e. x <-> z e. x ) )
17	16	anbi1d 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = z -> ( ( u e. x /\ x e. y ) <-> ( z e. x /\ x e. y ) ) )
18	15, 17	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> ( ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) ) )
19	18	exbidv 1850	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) ) )
20		equequ1 1952	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> ( u = x <-> z = x ) )
21	19, 20	bibi12d 335	. . . . . . . 8 |- ( u = z -> ( ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) <-> ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
22	21	cbvalv 2273	. . . . . . 7 |- ( A. u ( E. x ( ( u e. w /\ w e. x ) /\ ( u e. x /\ x e. y ) ) <-> u = x ) <-> A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
23	13, 22	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( v = x -> ( A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
24	23	cbvexv 2275	. . . . 5 |- ( E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) <-> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) )
25	24	imbi2i 326	. . . 4 |- ( ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
26	25	2albii 1748	. . 3 |- ( A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) <-> A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
27	26	exbii 1774	. 2 |- ( E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
28	1, 27	bitr4i 267	1 |- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919

This theorem is referenced by:  dfac0  8955  ac2  9283