Theorem aceq2 8942

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
aceq2	|- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem aceq2

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. t e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. t ( t e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
2		19.23v 1902	. . . . 5 |- ( A. t ( t e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) <-> ( E. t t e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
3	1, 2	bitri 264	. . . 4 |- ( A. t e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> ( E. t t e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
4		biidd 252	. . . . 5 |- ( w = t -> ( E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
5	4	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. t e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
6		n0 3931	. . . . 5 |- ( z =/= (/) <-> E. t t e. z )
7		elequ2 2004	. . . . . . . . 9 |- ( v = u -> ( z e. v <-> z e. u ) )
8		elequ2 2004	. . . . . . . . 9 |- ( v = u -> ( w e. v <-> w e. u ) )
9	7, 8	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( v = u -> ( ( z e. v /\ w e. v ) <-> ( z e. u /\ w e. u ) ) )
10	9	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) <-> E. u e. y ( z e. u /\ w e. u ) )
11	10	reubii 3128	. . . . . 6 |- ( E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) <-> E! w e. z E. u e. y ( z e. u /\ w e. u ) )
12		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( w = v -> ( w e. u <-> v e. u ) )
13	12	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( w = v -> ( ( z e. u /\ w e. u ) <-> ( z e. u /\ v e. u ) ) )
14	13	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( w = v -> ( E. u e. y ( z e. u /\ w e. u ) <-> E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
15	14	cbvreuv 3173	. . . . . 6 |- ( E! w e. z E. u e. y ( z e. u /\ w e. u ) <-> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
16	11, 15	bitri 264	. . . . 5 |- ( E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) <-> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
17	6, 16	imbi12i 340	. . . 4 |- ( ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) <-> ( E. t t e. z -> E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) ) )
18	3, 5, 17	3bitr4i 292	. . 3 |- ( A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )
19	18	ralbii 2980	. 2 |- ( A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )
20	19	exbii 1774	1 |- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> E! w e. z E. v e. y ( z e. v /\ w e. v ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   (/)c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-v 3202  df-dif 3577  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  dfac7  8954  ac3  9284