Theorem axinfprim 31583

Description: ax-inf 8535 without distinct variable conditions or defined symbols. (New usage is discouraged.) (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
axinfprim	|- -. A. x -. ( y e. z -> -. ( y e. x -> -. A. y ( y e. x -> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) ) ) )

Proof of Theorem axinfprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axinfnd 9428	. 2 |- E. x ( y e. z -> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) )
2		df-an 386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. z /\ z e. x ) <-> -. ( y e. z -> -. z e. x ) )
3	2	exbii 1774	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( y e. z /\ z e. x ) <-> E. z -. ( y e. z -> -. z e. x ) )
4		exnal 1754	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z -. ( y e. z -> -. z e. x ) <-> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) )
5	3, 4	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( E. z ( y e. z /\ z e. x ) <-> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) )
6	5	imbi2i 326	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) <-> ( y e. x -> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) ) )
7	6	albii 1747	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) <-> A. y ( y e. x -> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) ) )
8	7	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) <-> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) ) ) )
9		df-an 386	. . . . . 6 |- ( ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) ) ) <-> -. ( y e. x -> -. A. y ( y e. x -> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) ) ) )
10	8, 9	bitri 264	. . . . 5 |- ( ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) <-> -. ( y e. x -> -. A. y ( y e. x -> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) ) ) )
11	10	imbi2i 326	. . . 4 |- ( ( y e. z -> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) <-> ( y e. z -> -. ( y e. x -> -. A. y ( y e. x -> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) ) ) ) )
12	11	exbii 1774	. . 3 |- ( E. x ( y e. z -> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) <-> E. x ( y e. z -> -. ( y e. x -> -. A. y ( y e. x -> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) ) ) ) )
13		df-ex 1705	. . 3 |- ( E. x ( y e. z -> -. ( y e. x -> -. A. y ( y e. x -> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) ) ) ) <-> -. A. x -. ( y e. z -> -. ( y e. x -> -. A. y ( y e. x -> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) ) ) ) )
14	12, 13	bitri 264	. 2 |- ( E. x ( y e. z -> ( y e. x /\ A. y ( y e. x -> E. z ( y e. z /\ z e. x ) ) ) ) <-> -. A. x -. ( y e. z -> -. ( y e. x -> -. A. y ( y e. x -> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) ) ) ) )
15	1, 14	mpbi 220	1 |- -. A. x -. ( y e. z -> -. ( y e. x -> -. A. y ( y e. x -> -. A. z ( y e. z -> -. z e. x ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-reg 8497  ax-inf 8535

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by: (None)