Theorem axrep5 4776

Description: Axiom of Replacement (similar to Axiom Rep of [BellMachover] p. 463). The antecedent tells us ph is analogous to a "function" from x to y (although it is not really a function since it is a wff and not a class). In the consequent we postulate the existence of a set z that corresponds to the "image" of ph restricted to some other set w. The hypothesis says z must not be free in ph. (Contributed by NM, 26-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
axrep5.1	|- F/ z ph

Assertion

Ref	Expression
axrep5	|- ( A. x ( x e. w -> E. z A. y ( ph -> y = z ) ) -> E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem axrep5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.37v 1910	. . . . 5 |- ( E. z ( x e. w -> A. y ( ph -> y = z ) ) <-> ( x e. w -> E. z A. y ( ph -> y = z ) ) )
2		impexp 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) <-> ( x e. w -> ( ph -> y = z ) ) )
3	2	albii 1747	. . . . . . 7 |- ( A. y ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) <-> A. y ( x e. w -> ( ph -> y = z ) ) )
4		19.21v 1868	. . . . . . 7 |- ( A. y ( x e. w -> ( ph -> y = z ) ) <-> ( x e. w -> A. y ( ph -> y = z ) ) )
5	3, 4	bitr2i 265	. . . . . 6 |- ( ( x e. w -> A. y ( ph -> y = z ) ) <-> A. y ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) )
6	5	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. z ( x e. w -> A. y ( ph -> y = z ) ) <-> E. z A. y ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) )
7	1, 6	bitr3i 266	. . . 4 |- ( ( x e. w -> E. z A. y ( ph -> y = z ) ) <-> E. z A. y ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) )
8	7	albii 1747	. . 3 |- ( A. x ( x e. w -> E. z A. y ( ph -> y = z ) ) <-> A. x E. z A. y ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) )
9		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ z x e. w
10		axrep5.1	. . . . 5 |- F/ z ph
11	9, 10	nfan 1828	. . . 4 |- F/ z ( x e. w /\ ph )
12	11	axrep4 4775	. . 3 |- ( A. x E. z A. y ( ( x e. w /\ ph ) -> y = z ) -> E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) ) )
13	8, 12	sylbi 207	. 2 |- ( A. x ( x e. w -> E. z A. y ( ph -> y = z ) ) -> E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) ) )
14		anabs5 851	. . . . . 6 |- ( ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) <-> ( x e. w /\ ph ) )
15	14	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. x ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) <-> E. x ( x e. w /\ ph ) )
16	15	bibi2i 327	. . . 4 |- ( ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) ) <-> ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )
17	16	albii 1747	. . 3 |- ( A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) ) <-> A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )
18	17	exbii 1774	. 2 |- ( E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ( x e. w /\ ph ) ) ) <-> E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )
19	13, 18	sylib 208	1 |- ( A. x ( x e. w -> E. z A. y ( ph -> y = z ) ) -> E. z A. y ( y e. z <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   F/wnf 1708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-rep 4771

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710

This theorem is referenced by:  zfrepclf  4777  axsep  4780