Theorem bnj611 30988

Description: Technical lemma for bnj852 30991. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj611.1	|- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
bnj611.2	|- ( ps" <-> [. G / f ]. ps )
bnj611.3	|- G e. _V

Assertion

Ref	Expression
bnj611	|- ( ps" <-> A. i e. om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   A, f   i, G, y   f, N   R, f   f, i, y

Allowed substitution hints:   ps( y, f, i)   A( y, i)   R( y, i)   G( f)   N( y, i)   ps"( y, f, i)

Proof of Theorem bnj611

Dummy variable e is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj611.2	. 2 |- ( ps" <-> [. G / f ]. ps )
2		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. i e. om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
3	2	bicomi 214	. . . 4 |- ( A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
4	3	sbcbii 3491	. . 3 |- ( [. G / f ]. A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> [. G / f ]. A. i e. om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
5		bnj611.3	. . . . . . 7 |- G e. _V
6		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ f i e. om
7	6	sbc19.21g 3502	. . . . . . 7 |- ( G e. _V -> ( [. G / f ]. ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( i e. om -> [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) ) )
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( [. G / f ]. ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( i e. om -> [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
9		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ f suc i e. N
10	9	sbc19.21g 3502	. . . . . . . . 9 |- ( G e. _V -> ( [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. N -> [. G / f ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
11	5, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. N -> [. G / f ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
12		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = G -> ( f ` suc i ) = ( G ` suc i ) )
13		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = G -> ( f ` i ) = ( G ` i ) )
14	13	bnj1113 30856	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = G -> U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) )
15	12, 14	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( f = G -> ( ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
16		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = e -> ( f ` suc i ) = ( e ` suc i ) )
17		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = e -> ( f ` i ) = ( e ` i ) )
18	17	bnj1113 30856	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = e -> U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( e ` i ) pred ( y , A , R ) )
19	16, 18	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( f = e -> ( ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( e ` suc i ) = U_ y e. ( e ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
20		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = G -> ( e ` suc i ) = ( G ` suc i ) )
21		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = G -> ( e ` i ) = ( G ` i ) )
22	21	bnj1113 30856	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = G -> U_ y e. ( e ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) )
23	20, 22	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( e = G -> ( ( e ` suc i ) = U_ y e. ( e ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
24	5, 15, 19, 23	bnj610 30817	. . . . . . . . 9 |- ( [. G / f ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) )
25	24	imbi2i 326	. . . . . . . 8 |- ( ( suc i e. N -> [. G / f ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
26	11, 25	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
27	26	imbi2i 326	. . . . . 6 |- ( ( i e. om -> [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
28	8, 27	bitri 264	. . . . 5 |- ( [. G / f ]. ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
29	28	albii 1747	. . . 4 |- ( A. i [. G / f ]. ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
30		sbcal 3485	. . . 4 |- ( [. G / f ]. A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> A. i [. G / f ]. ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
31		df-ral 2917	. . . 4 |- ( A. i e. om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
32	29, 30, 31	3bitr4ri 293	. . 3 |- ( A. i e. om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> [. G / f ]. A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
33		bnj611.1	. . . 4 |- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
34	33	sbcbii 3491	. . 3 |- ( [. G / f ]. ps <-> [. G / f ]. A. i e. om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
35	4, 32, 34	3bitr4ri 293	. 2 |- ( [. G / f ]. ps <-> A. i e. om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
36	1, 35	bitri 264	1 |- ( ps" <-> A. i e. om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   U_ciun 4520   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   predc-bnj14 30754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436  df-in 3581  df-ss 3588  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  bnj600  30989  bnj908  31001