Theorem cdleme31sn1c 35676

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 1-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme31sn1c.g	|- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme31sn1c.i	|- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = G ) )
cdleme31sn1c.n	|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , D )
cdleme31sn1c.y	|- Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme31sn1c.c	|- C = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )

Assertion

Ref	Expression
cdleme31sn1c	|- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = C )

Distinct variable groups:   t, s, y, A   B, s   E, s   .\/ , s, t, y   .<_ , s, t, y   ./\ , s   P, s, t, y   Q, s, t, y   R, s, t, y   W, s

Allowed substitution hints:   B( y, t)   C( y, t, s)   D( y, t, s)   E( y, t)   G( y, t, s)   I( y, t, s)   ./\ ( y, t)   N( y, t, s)   W( y, t)   Y( y, t, s)

Proof of Theorem cdleme31sn1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme31sn1c.i	. . 3 |- I = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = G ) )
2		cdleme31sn1c.n	. . 3 |- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , D )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) )
4	1, 2, 3	cdleme31sn1 35669	. 2 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) )
5		cdleme31sn1c.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
6		cdleme31sn1c.y	. . . . . . . . 9 |- Y = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( E .\/ ( ( R .\/ t ) ./\ W ) ) )
7	5, 6	cdleme31se 35670	. . . . . . . 8 |- ( R e. A -> [_ R / s ]_ G = Y )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ G = Y )
9	8	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( y = [_ R / s ]_ G <-> y = Y ) )
10	9	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) <-> ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) <-> A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
12	11	riotabidv 6613	. . 3 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) ) )
13		cdleme31sn1c.c	. . 3 |- C = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = Y ) )
14	12, 13	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = [_ R / s ]_ G ) ) = C )
15	4, 14	eqtrd 2656	1 |- ( ( R e. A /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   ifcif 4086   class class class wbr 4653   iota_crio 6610  (class class class)co 6650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  cdlemefs32sn1aw  35702  cdleme43fsv1snlem  35708  cdleme41sn3a  35721  cdleme40m  35755  cdleme40n  35756