Theorem cllem0 37871

Description: The class of all sets with property ph ( z ) is closed under the binary operation on sets defined in R ( x , y ). (Contributed by Richard Penner, 3-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cllem0.v	|- V = { z | ph }
cllem0.rex	|- R e. U
cllem0.r	|- ( z = R -> ( ph <-> ps ) )
cllem0.x	|- ( z = x -> ( ph <-> ch ) )
cllem0.y	|- ( z = y -> ( ph <-> th ) )
cllem0.closed	|- ( ( ch /\ th ) -> ps )

Assertion

Ref	Expression
cllem0	|- A. x e. V A. y e. V R e. V

Distinct variable groups:   ps, z   ch, z   th, z   x, y, z   y, V   z, R

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( x, y)   ch( x, y)   th( x, y)   R( x, y)   U( x, y, z)   V( x, z)

Proof of Theorem cllem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cllem0.rex	. . . . . . 7 |- R e. U
2	1	elexi 3213	. . . . . 6 |- R e. _V
3		cllem0.r	. . . . . 6 |- ( z = R -> ( ph <-> ps ) )
4		cllem0.v	. . . . . 6 |- V = { z | ph }
5	2, 3, 4	elab2 3354	. . . . 5 |- ( R e. V <-> ps )
6	5	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. y e. V R e. V <-> A. y e. V ps )
7	6	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. x e. V A. y e. V R e. V <-> A. x e. V A. y e. V ps )
8		df-ral 2917	. . . 4 |- ( A. y e. V ps <-> A. y ( y e. V -> ps ) )
9	8	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. x e. V A. y e. V ps <-> A. x e. V A. y ( y e. V -> ps ) )
10		df-ral 2917	. . 3 |- ( A. x e. V A. y ( y e. V -> ps ) <-> A. x ( x e. V -> A. y ( y e. V -> ps ) ) )
11	7, 9, 10	3bitri 286	. 2 |- ( A. x e. V A. y e. V R e. V <-> A. x ( x e. V -> A. y ( y e. V -> ps ) ) )
12		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
13		cllem0.x	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ph <-> ch ) )
14	12, 13, 4	elab2 3354	. . . . 5 |- ( x e. V <-> ch )
15		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
16		cllem0.y	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( ph <-> th ) )
17	15, 16, 4	elab2 3354	. . . . 5 |- ( y e. V <-> th )
18		cllem0.closed	. . . . 5 |- ( ( ch /\ th ) -> ps )
19	14, 17, 18	syl2anb 496	. . . 4 |- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ps )
20	19	ex 450	. . 3 |- ( x e. V -> ( y e. V -> ps ) )
21	20	alrimiv 1855	. 2 |- ( x e. V -> A. y ( y e. V -> ps ) )
22	11, 21	mpgbir 1726	1 |- A. x e. V A. y e. V R e. V

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202

This theorem is referenced by:  superficl  37872  superuncl  37873  ssficl  37874  ssuncl  37875  ssdifcl  37876  sssymdifcl  37877  trficl  37961