Theorem cover2 33508

Description: Two ways of expressing the statement "there is a cover of A by elements of B such that for each set in the cover, ph." Note that ph and x must be distinct. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
cover2.1	|- B e. _V
cover2.2	|- A = U. B

Assertion

Ref	Expression
cover2	|- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) <-> E. z e. ~P B ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) )

Distinct variable groups:   ph, x, z   x, B, y, z   x, A, z

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)

Proof of Theorem cover2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . . 4 |- { y e. B | ph } C_ B
2		cover2.1	. . . . 5 |- B e. _V
3	2	elpw2 4828	. . . 4 |- ( { y e. B | ph } e. ~P B <-> { y e. B | ph } C_ B )
4	1, 3	mpbir 221	. . 3 |- { y e. B | ph } e. ~P B
5		nfra1 2941	. . . . 5 |- F/ x A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph )
6	1	unissi 4461	. . . . . . . 8 |- U. { y e. B | ph } C_ U. B
7	6	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( x e. U. { y e. B | ph } -> x e. U. B )
8		cover2.2	. . . . . . 7 |- A = U. B
9	7, 8	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( x e. U. { y e. B | ph } -> x e. A )
10		rsp 2929	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) -> ( x e. A -> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) ) )
11		elunirab 4448	. . . . . . 7 |- ( x e. U. { y e. B | ph } <-> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
12	10, 11	syl6ibr 242	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) -> ( x e. A -> x e. U. { y e. B | ph } ) )
13	9, 12	impbid2 216	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) -> ( x e. U. { y e. B | ph } <-> x e. A ) )
14	5, 13	alrimi 2082	. . . 4 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) -> A. x ( x e. U. { y e. B | ph } <-> x e. A ) )
15		dfcleq 2616	. . . 4 |- ( U. { y e. B | ph } = A <-> A. x ( x e. U. { y e. B | ph } <-> x e. A ) )
16	14, 15	sylibr 224	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) -> U. { y e. B | ph } = A )
17		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( z = { y e. B | ph } -> U. z = U. { y e. B | ph } )
18	17	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( U. z = A <-> U. { y e. B | ph } = A ) )
19	18	anbi1d 741	. . . . 5 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) <-> ( U. { y e. B | ph } = A /\ A. y e. z ph ) ) )
20		nfrab1 3122	. . . . . . . 8 |- F/_ y { y e. B | ph }
21	20	nfeq2 2780	. . . . . . 7 |- F/ y z = { y e. B | ph }
22		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( y e. z <-> y e. { y e. B | ph } ) )
23		rabid 3116	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { y e. B | ph } <-> ( y e. B /\ ph ) )
24	23	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( y e. { y e. B | ph } -> ph )
25	22, 24	syl6bi 243	. . . . . . 7 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( y e. z -> ph ) )
26	21, 25	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( z = { y e. B | ph } -> A. y e. z ph )
27	26	biantrud 528	. . . . 5 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( U. { y e. B | ph } = A <-> ( U. { y e. B | ph } = A /\ A. y e. z ph ) ) )
28	19, 27	bitr4d 271	. . . 4 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) <-> U. { y e. B | ph } = A ) )
29	28	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( { y e. B | ph } e. ~P B /\ U. { y e. B | ph } = A ) -> E. z e. ~P B ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) )
30	4, 16, 29	sylancr 695	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) -> E. z e. ~P B ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) )
31		elpwi 4168	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P B -> z C_ B )
32		r19.29r 3073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. y e. z x e. y /\ A. y e. z ph ) -> E. y e. z ( x e. y /\ ph ) )
33	32	expcom 451	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. z ph -> ( E. y e. z x e. y -> E. y e. z ( x e. y /\ ph ) ) )
34		ssrexv 3667	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ B -> ( E. y e. z ( x e. y /\ ph ) -> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) ) )
35	33, 34	sylan9r 690	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ B /\ A. y e. z ph ) -> ( E. y e. z x e. y -> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) ) )
36	31, 35	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~P B /\ A. y e. z ph ) -> ( E. y e. z x e. y -> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) ) )
37		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( U. z = A -> ( x e. U. z <-> x e. A ) )
38	37	biimpar 502	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. z = A /\ x e. A ) -> x e. U. z )
39		eluni2 4440	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U. z <-> E. y e. z x e. y )
40	38, 39	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( U. z = A /\ x e. A ) -> E. y e. z x e. y )
41	36, 40	impel 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. ~P B /\ A. y e. z ph ) /\ ( U. z = A /\ x e. A ) ) -> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
42	41	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. ~P B /\ A. y e. z ph ) /\ U. z = A ) /\ x e. A ) -> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
43	42	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( z e. ~P B /\ A. y e. z ph ) /\ U. z = A ) -> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
44	43	anasss 679	. . . 4 |- ( ( z e. ~P B /\ ( A. y e. z ph /\ U. z = A ) ) -> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
45	44	ancom2s 844	. . 3 |- ( ( z e. ~P B /\ ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) ) -> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
46	45	rexlimiva 3028	. 2 |- ( E. z e. ~P B ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) -> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
47	30, 46	impbii 199	1 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) <-> E. z e. ~P B ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  cover2g  33509