Theorem unirep 33507

Description: Define a quantity whose definition involves a choice of representative, but which is uniquely determined regardless of the choice. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
unirep.1	|- ( y = D -> ( ph <-> ps ) )
unirep.2	|- ( y = D -> B = C )
unirep.3	|- ( y = z -> ( ph <-> ch ) )
unirep.4	|- ( y = z -> B = F )
unirep.5	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unirep	|- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> ( iota x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) = C )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, z   x, C, y   x, D, y   x, F, y   ph, x, z   ps, x, y   ch, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   ps( z)   ch( z)   B( y)   C( z)   D( z)   F( z)

Proof of Theorem unirep

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ps -> C = C )
2	1	ancli 574	. . . 4 |- ( ps -> ( ps /\ C = C ) )
3		unirep.1	. . . . . 6 |- ( y = D -> ( ph <-> ps ) )
4		unirep.2	. . . . . . 7 |- ( y = D -> B = C )
5	4	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( y = D -> ( C = B <-> C = C ) )
6	3, 5	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( y = D -> ( ( ph /\ C = B ) <-> ( ps /\ C = C ) ) )
7	6	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( D e. A /\ ( ps /\ C = C ) ) -> E. y e. A ( ph /\ C = B ) )
8	2, 7	sylan2 491	. . 3 |- ( ( D e. A /\ ps ) -> E. y e. A ( ph /\ C = B ) )
9	8	adantl 482	. 2 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> E. y e. A ( ph /\ C = B ) )
10		nfcvd 2765	. . . . . 6 |- ( D e. A -> F/_ y C )
11	10, 4	csbiegf 3557	. . . . 5 |- ( D e. A -> [_ D / y ]_ B = C )
12		unirep.5	. . . . . 6 |- B e. _V
13	12	csbex 4793	. . . . 5 |- [_ D / y ]_ B e. _V
14	11, 13	syl6eqelr 2710	. . . 4 |- ( D e. A -> C e. _V )
15	14	ad2antrl 764	. . 3 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> C e. _V )
16		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = C -> ( x = B <-> C = B ) )
17	16	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( ( ph /\ x = B ) <-> ( ph /\ C = B ) ) )
18	17	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) <-> E. y e. A ( ph /\ C = B ) ) )
19	18	spcegv 3294	. . . . . . . 8 |- ( C e. _V -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) )
20	14, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( D e. A -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) )
21	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( D e. A /\ ps ) -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) )
22	8, 21	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( D e. A /\ ps ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) )
23	22	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) )
24		r19.29 3072	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) -> E. y e. A ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) )
25		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> E. z e. A ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ch /\ w = F ) ) )
26		an4 865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x = B ) /\ ( ch /\ w = F ) ) <-> ( ( ph /\ ch ) /\ ( x = B /\ w = F ) ) )
27		pm3.35 611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ch ) /\ ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) ) -> B = F )
28		eqeq12 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = B /\ w = F ) -> ( x = w <-> B = F ) )
29	27, 28	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ch ) /\ ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) ) -> ( ( x = B /\ w = F ) -> x = w ) )
30	29	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ ch ) ) -> ( ( x = B /\ w = F ) -> x = w ) )
31	30	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) -> ( ( ( ph /\ ch ) /\ ( x = B /\ w = F ) ) -> x = w ) )
32	26, 31	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) -> ( ( ( ph /\ x = B ) /\ ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) )
33	32	ancomsd 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) -> ( ( ( ch /\ w = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> x = w ) )
34	33	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ch /\ w = F ) ) -> ( ( ph /\ x = B ) -> x = w ) )
35	34	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. A ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ch /\ w = F ) ) -> ( ( ph /\ x = B ) -> x = w ) )
36	35	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E. z e. A ( ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ch /\ w = F ) ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> x = w )
37	25, 36	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> x = w )
38	37	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w )
39	38	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> ( E. z e. A ( ch /\ w = F ) -> x = w ) )
40	39	rexlimivw 3029	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. A ( A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( ph /\ x = B ) ) -> ( E. z e. A ( ch /\ w = F ) -> x = w ) )
41	24, 40	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) -> ( E. z e. A ( ch /\ w = F ) -> x = w ) )
42	41	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) -> ( ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) )
43	42	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> ( ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) )
44	43	alrimivv 1856	. . . 4 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> A. x A. w ( ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) )
45		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( x = B <-> w = B ) )
46	45	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( ( ph /\ x = B ) <-> ( ph /\ w = B ) ) )
47	46	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) <-> E. y e. A ( ph /\ w = B ) ) )
48		unirep.3	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ph <-> ch ) )
49		unirep.4	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> B = F )
50	49	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( w = B <-> w = F ) )
51	48, 50	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( ph /\ w = B ) <-> ( ch /\ w = F ) ) )
52	51	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. y e. A ( ph /\ w = B ) <-> E. z e. A ( ch /\ w = F ) )
53	47, 52	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( x = w -> ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) <-> E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) )
54	53	eu4 2518	. . . 4 |- ( E! x E. y e. A ( ph /\ x = B ) <-> ( E. x E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ A. x A. w ( ( E. y e. A ( ph /\ x = B ) /\ E. z e. A ( ch /\ w = F ) ) -> x = w ) ) )
55	23, 44, 54	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> E! x E. y e. A ( ph /\ x = B ) )
56	18	iota2 5877	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ E! x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) <-> ( iota x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) = C ) )
57	15, 55, 56	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> ( E. y e. A ( ph /\ C = B ) <-> ( iota x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) = C ) )
58	9, 57	mpbid 222	1 |- ( ( A. y e. A A. z e. A ( ( ph /\ ch ) -> B = F ) /\ ( D e. A /\ ps ) ) -> ( iota x E. y e. A ( ph /\ x = B ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   iotacio 5849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-iota 5851

This theorem is referenced by: (None)