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Theorem dfif5 4102
Description: Alternate definition of the conditional operator df-if 4087. Note that ph is independent of x i.e. a constant true or false (see also ab0orv 3953). (Contributed by Gérard Lang, 18-Aug-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfif3.1 |- C = { x | ph }
Assertion
Ref Expression
dfif5 |- if ( ph , A , B ) = ( ( A i^i B ) u. ( ( ( A \ B ) i^i C ) u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) )
Distinct variable group:   ph, x
Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)
Proof of Theorem dfif5
StepHypRef Expression
1 inindi 3830 . 2 |- ( ( A u. B ) i^i ( ( A u. ( _V \ C ) ) i^i ( B u. C ) ) ) = ( ( ( A u. B ) i^i ( A u. ( _V \ C ) ) ) i^i ( ( A u. B ) i^i ( B u. C ) ) )
2 dfif3.1 . . 3 |- C = { x | ph }
32dfif4 4101 . 2 |- if ( ph , A , B ) = ( ( A u. B ) i^i ( ( A u. ( _V \ C ) ) i^i ( B u. C ) ) )
4 undir 3876 . . 3 |- ( ( A i^i B ) u. ( ( ( A \ B ) i^i C ) u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) ) = ( ( A u. ( ( ( A \ B ) i^i C ) u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) ) i^i ( B u. ( ( ( A \ B ) i^i C ) u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) ) )
5 unidm 3756 . . . . . . . 8 |- ( A u. A ) = A
65uneq1i 3763 . . . . . . 7 |- ( ( A u. A ) u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) = ( A u. ( B i^i ( _V \ C ) ) )
7 unass 3770 . . . . . . 7 |- ( ( A u. A ) u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) = ( A u. ( A u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) )
8 undi 3874 . . . . . . 7 |- ( A u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) = ( ( A u. B ) i^i ( A u. ( _V \ C ) ) )
96, 7, 83eqtr3ri 2653 . . . . . 6 |- ( ( A u. B ) i^i ( A u. ( _V \ C ) ) ) = ( A u. ( A u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) )
10 undi 3874 . . . . . . . 8 |- ( A u. ( ( A \ B ) i^i C ) ) = ( ( A u. ( A \ B ) ) i^i ( A u. C ) )
11 undifabs 4045 . . . . . . . . 9 |- ( A u. ( A \ B ) ) = A
1211ineq1i 3810 . . . . . . . 8 |- ( ( A u. ( A \ B ) ) i^i ( A u. C ) ) = ( A i^i ( A u. C ) )
13 inabs 3855 . . . . . . . 8 |- ( A i^i ( A u. C ) ) = A
1410, 12, 133eqtri 2648 . . . . . . 7 |- ( A u. ( ( A \ B ) i^i C ) ) = A
15 undif2 4044 . . . . . . . . 9 |- ( A u. ( B \ A ) ) = ( A u. B )
1615ineq1i 3810 . . . . . . . 8 |- ( ( A u. ( B \ A ) ) i^i ( A u. ( _V \ C ) ) ) = ( ( A u. B ) i^i ( A u. ( _V \ C ) ) )
17 undi 3874 . . . . . . . 8 |- ( A u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) = ( ( A u. ( B \ A ) ) i^i ( A u. ( _V \ C ) ) )
1816, 17, 83eqtr4i 2654 . . . . . . 7 |- ( A u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) = ( A u. ( B i^i ( _V \ C ) ) )
1914, 18uneq12i 3765 . . . . . 6 |- ( ( A u. ( ( A \ B ) i^i C ) ) u. ( A u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) ) = ( A u. ( A u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) )
209, 19eqtr4i 2647 . . . . 5 |- ( ( A u. B ) i^i ( A u. ( _V \ C ) ) ) = ( ( A u. ( ( A \ B ) i^i C ) ) u. ( A u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) )
21 unundi 3774 . . . . 5 |- ( A u. ( ( ( A \ B ) i^i C ) u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) ) = ( ( A u. ( ( A \ B ) i^i C ) ) u. ( A u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) )
2220, 21eqtr4i 2647 . . . 4 |- ( ( A u. B ) i^i ( A u. ( _V \ C ) ) ) = ( A u. ( ( ( A \ B ) i^i C ) u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) )
23 unass 3770 . . . . . 6 |- ( ( ( A i^i C ) u. B ) u. B ) = ( ( A i^i C ) u. ( B u. B ) )
24 undi 3874 . . . . . . . . 9 |- ( B u. ( A i^i C ) ) = ( ( B u. A ) i^i ( B u. C ) )
25 uncom 3757 . . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i C ) u. B ) = ( B u. ( A i^i C ) )
26 undif2 4044 . . . . . . . . . 10 |- ( B u. ( A \ B ) ) = ( B u. A )
2726ineq1i 3810 . . . . . . . . 9 |- ( ( B u. ( A \ B ) ) i^i ( B u. C ) ) = ( ( B u. A ) i^i ( B u. C ) )
2824, 25, 273eqtr4i 2654 . . . . . . . 8 |- ( ( A i^i C ) u. B ) = ( ( B u. ( A \ B ) ) i^i ( B u. C ) )
29 undi 3874 . . . . . . . 8 |- ( B u. ( ( A \ B ) i^i C ) ) = ( ( B u. ( A \ B ) ) i^i ( B u. C ) )
3028, 29eqtr4i 2647 . . . . . . 7 |- ( ( A i^i C ) u. B ) = ( B u. ( ( A \ B ) i^i C ) )
31 undi 3874 . . . . . . . 8 |- ( B u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) = ( ( B u. ( B \ A ) ) i^i ( B u. ( _V \ C ) ) )
32 undifabs 4045 . . . . . . . . 9 |- ( B u. ( B \ A ) ) = B
3332ineq1i 3810 . . . . . . . 8 |- ( ( B u. ( B \ A ) ) i^i ( B u. ( _V \ C ) ) ) = ( B i^i ( B u. ( _V \ C ) ) )
34 inabs 3855 . . . . . . . 8 |- ( B i^i ( B u. ( _V \ C ) ) ) = B
3531, 33, 343eqtrri 2649 . . . . . . 7 |- B = ( B u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) )
3630, 35uneq12i 3765 . . . . . 6 |- ( ( ( A i^i C ) u. B ) u. B ) = ( ( B u. ( ( A \ B ) i^i C ) ) u. ( B u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) )
37 unidm 3756 . . . . . . 7 |- ( B u. B ) = B
3837uneq2i 3764 . . . . . 6 |- ( ( A i^i C ) u. ( B u. B ) ) = ( ( A i^i C ) u. B )
3923, 36, 383eqtr3ri 2653 . . . . 5 |- ( ( A i^i C ) u. B ) = ( ( B u. ( ( A \ B ) i^i C ) ) u. ( B u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) )
40 uncom 3757 . . . . . . 7 |- ( B u. C ) = ( C u. B )
4140ineq2i 3811 . . . . . 6 |- ( ( A u. B ) i^i ( B u. C ) ) = ( ( A u. B ) i^i ( C u. B ) )
42 undir 3876 . . . . . 6 |- ( ( A i^i C ) u. B ) = ( ( A u. B ) i^i ( C u. B ) )
4341, 42eqtr4i 2647 . . . . 5 |- ( ( A u. B ) i^i ( B u. C ) ) = ( ( A i^i C ) u. B )
44 unundi 3774 . . . . 5 |- ( B u. ( ( ( A \ B ) i^i C ) u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) ) = ( ( B u. ( ( A \ B ) i^i C ) ) u. ( B u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) )
4539, 43, 443eqtr4i 2654 . . . 4 |- ( ( A u. B ) i^i ( B u. C ) ) = ( B u. ( ( ( A \ B ) i^i C ) u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) )
4622, 45ineq12i 3812 . . 3 |- ( ( ( A u. B ) i^i ( A u. ( _V \ C ) ) ) i^i ( ( A u. B ) i^i ( B u. C ) ) ) = ( ( A u. ( ( ( A \ B ) i^i C ) u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) ) i^i ( B u. ( ( ( A \ B ) i^i C ) u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) ) )
474, 46eqtr4i 2647 . 2 |- ( ( A i^i B ) u. ( ( ( A \ B ) i^i C ) u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) ) = ( ( ( A u. B ) i^i ( A u. ( _V \ C ) ) ) i^i ( ( A u. B ) i^i ( B u. C ) ) )
481, 3, 473eqtr4i 2654 1 |- if ( ph , A , B ) = ( ( A i^i B ) u. ( ( ( A \ B ) i^i C ) u. ( ( B \ A ) i^i ( _V \ C ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1483   {cab 2608   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   ifcif 4086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087
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