Theorem dfif4 4101

Description: Alternate definition of the conditional operator df-if 4087. Note that ph is independent of x i.e. a constant true or false. (Contributed by NM, 25-Aug-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfif3.1	|- C = { x | ph }

Assertion

Ref	Expression
dfif4	|- if ( ph , A , B ) = ( ( A u. B ) i^i ( ( A u. ( _V \ C ) ) i^i ( B u. C ) ) )

Distinct variable group:   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)

Proof of Theorem dfif4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfif3.1	. . 3 |- C = { x | ph }
2	1	dfif3 4100	. 2 |- if ( ph , A , B ) = ( ( A i^i C ) u. ( B i^i ( _V \ C ) ) )
3		undir 3876	. 2 |- ( ( A i^i C ) u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) = ( ( A u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) i^i ( C u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) )
4		undi 3874	. . . 4 |- ( A u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) = ( ( A u. B ) i^i ( A u. ( _V \ C ) ) )
5		undi 3874	. . . . 5 |- ( C u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) = ( ( C u. B ) i^i ( C u. ( _V \ C ) ) )
6		uncom 3757	. . . . . 6 |- ( C u. B ) = ( B u. C )
7		unvdif 4042	. . . . . 6 |- ( C u. ( _V \ C ) ) = _V
8	6, 7	ineq12i 3812	. . . . 5 |- ( ( C u. B ) i^i ( C u. ( _V \ C ) ) ) = ( ( B u. C ) i^i _V )
9		inv1 3970	. . . . 5 |- ( ( B u. C ) i^i _V ) = ( B u. C )
10	5, 8, 9	3eqtri 2648	. . . 4 |- ( C u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) = ( B u. C )
11	4, 10	ineq12i 3812	. . 3 |- ( ( A u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) i^i ( C u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) ) = ( ( ( A u. B ) i^i ( A u. ( _V \ C ) ) ) i^i ( B u. C ) )
12		inass 3823	. . 3 |- ( ( ( A u. B ) i^i ( A u. ( _V \ C ) ) ) i^i ( B u. C ) ) = ( ( A u. B ) i^i ( ( A u. ( _V \ C ) ) i^i ( B u. C ) ) )
13	11, 12	eqtri 2644	. 2 |- ( ( A u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) i^i ( C u. ( B i^i ( _V \ C ) ) ) ) = ( ( A u. B ) i^i ( ( A u. ( _V \ C ) ) i^i ( B u. C ) ) )
14	2, 3, 13	3eqtri 2648	1 |- if ( ph , A , B ) = ( ( A u. B ) i^i ( ( A u. ( _V \ C ) ) i^i ( B u. C ) ) )

Syntax hints:   = wceq 1483   {cab 2608   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   ifcif 4086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087

This theorem is referenced by:  dfif5  4102