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Theorem fiinfi 37878
Description: If two classes have the finite intersection property, then so does their intersection. (Contributed by Richard Penner, 1-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fiinfi.a |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A )
fiinfi.b |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B )
fiinfi.c |- ( ph -> C = ( A i^i B ) )
Assertion
Ref Expression
fiinfi |- ( ph -> A. x e. C A. y e. C ( x i^i y ) e. C )
Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   ph, x, y
Proof of Theorem fiinfi
StepHypRef Expression
1 fiinfi.a . . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A )
2 elinel1 3799 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A i^i B ) -> x e. A )
3 elinel1 3799 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( A i^i B ) -> y e. A )
43imim1i 63 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A -> ( x i^i y ) e. A ) -> ( y e. ( A i^i B ) -> ( x i^i y ) e. A ) )
54ralimi2 2949 . . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. A )
62, 5imim12i 62 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. A -> A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) -> ( x e. ( A i^i B ) -> A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. A ) )
76ralimi2 2949 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. A )
81, 7syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. A )
9 fiinfi.b . . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B )
10 elinel2 3800 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A i^i B ) -> x e. B )
11 elinel2 3800 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( A i^i B ) -> y e. B )
1211imim1i 63 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. B -> ( x i^i y ) e. B ) -> ( y e. ( A i^i B ) -> ( x i^i y ) e. B ) )
1312ralimi2 2949 . . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. B )
1410, 13imim12i 62 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. B -> A. y e. B ( x i^i y ) e. B ) -> ( x e. ( A i^i B ) -> A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. B ) )
1514ralimi2 2949 . . . . . . 7 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. B )
169, 15syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. B )
17 r19.26-2 3065 . . . . . 6 |- ( A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( ( x i^i y ) e. A /\ ( x i^i y ) e. B ) <-> ( A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. A /\ A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. B ) )
188, 16, 17sylanbrc 698 . . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( ( x i^i y ) e. A /\ ( x i^i y ) e. B ) )
19 elin 3796 . . . . . 6 |- ( ( x i^i y ) e. ( A i^i B ) <-> ( ( x i^i y ) e. A /\ ( x i^i y ) e. B ) )
20192ralbii 2981 . . . . 5 |- ( A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. ( A i^i B ) <-> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( ( x i^i y ) e. A /\ ( x i^i y ) e. B ) )
2118, 20sylibr 224 . . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. ( A i^i B ) )
22 fiinfi.c . . . . . . 7 |- ( ph -> C = ( A i^i B ) )
2322eleq2d 2687 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x i^i y ) e. C <-> ( x i^i y ) e. ( A i^i B ) ) )
2423ralbidv 2986 . . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. C <-> A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. ( A i^i B ) ) )
2524ralbidv 2986 . . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. C <-> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. ( A i^i B ) ) )
2621, 25mpbird 247 . . 3 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. C )
2722raleqdv 3144 . . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. C ( x i^i y ) e. C <-> A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. C ) )
2827ralbidv 2986 . . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ( A i^i B ) A. y e. C ( x i^i y ) e. C <-> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. ( A i^i B ) ( x i^i y ) e. C ) )
2926, 28mpbird 247 . 2 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. C ( x i^i y ) e. C )
3022raleqdv 3144 . 2 |- ( ph -> ( A. x e. C A. y e. C ( x i^i y ) e. C <-> A. x e. ( A i^i B ) A. y e. C ( x i^i y ) e. C ) )
3129, 30mpbird 247 1 |- ( ph -> A. x e. C A. y e. C ( x i^i y ) e. C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-in 3581
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