Theorem ifpdfxor 37832

Description: Define xor as conditional logic operator. (Contributed by RP, 20-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ifpdfxor	|- ( ( ph \/_ ps ) <-> if- ( ph , -. ps , ps ) )

Proof of Theorem ifpdfxor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xor2 1470	. 2 |- ( ( ph \/_ ps ) <-> ( ( ph \/ ps ) /\ -. ( ph /\ ps ) ) )
2		ifpdfor 37809	. . 3 |- ( ( ph \/ ps ) <-> if- ( ph , T. , ps ) )
3		ifpnot23 37823	. . . 4 |- ( -. if- ( ph , ps , F. ) <-> if- ( ph , -. ps , -. F. ) )
4		ifpdfan 37810	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) <-> if- ( ph , ps , F. ) )
5	3, 4	xchnxbir 323	. . 3 |- ( -. ( ph /\ ps ) <-> if- ( ph , -. ps , -. F. ) )
6	2, 5	anbi12i 733	. 2 |- ( ( ( ph \/ ps ) /\ -. ( ph /\ ps ) ) <-> (if- ( ph , T. , ps ) /\ if- ( ph , -. ps , -. F. ) ) )
7		ifpan23 37804	. . 3 |- ( (if- ( ph , T. , ps ) /\ if- ( ph , -. ps , -. F. ) ) <-> if- ( ph , ( T. /\ -. ps ) , ( ps /\ -. F. ) ) )
8		truan 1501	. . . 4 |- ( ( T. /\ -. ps ) <-> -. ps )
9		fal 1490	. . . . . 6 |- -. F.
10	9	biantru 526	. . . . 5 |- ( ps <-> ( ps /\ -. F. ) )
11	10	bicomi 214	. . . 4 |- ( ( ps /\ -. F. ) <-> ps )
12		ifpbi23 37817	. . . 4 |- ( ( ( ( T. /\ -. ps ) <-> -. ps ) /\ ( ( ps /\ -. F. ) <-> ps ) ) -> (if- ( ph , ( T. /\ -. ps ) , ( ps /\ -. F. ) ) <-> if- ( ph , -. ps , ps ) ) )
13	8, 11, 12	mp2an 708	. . 3 |- (if- ( ph , ( T. /\ -. ps ) , ( ps /\ -. F. ) ) <-> if- ( ph , -. ps , ps ) )
14	7, 13	bitri 264	. 2 |- ( (if- ( ph , T. , ps ) /\ if- ( ph , -. ps , -. F. ) ) <-> if- ( ph , -. ps , ps ) )
15	1, 6, 14	3bitri 286	1 |- ( ( ph \/_ ps ) <-> if- ( ph , -. ps , ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384  if-wif 1012   \/_ wxo 1464   T. wtru 1484   F. wfal 1488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-xor 1465  df-tru 1486  df-fal 1489

This theorem is referenced by: (None)