Theorem issros 30238

Description: The property of being a semi-rings of sets, i.e. collections of sets containing the empty set, closed under finite intersection, and where complements can be written as finite disjoint unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
issros.1	|- N = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x i^i y ) e. s /\ E. z e. ~P s ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
issros	|- ( S e. N <-> ( S e. ~P ~P O /\ (/) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x i^i y ) e. S /\ E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) )

Distinct variable groups:   t, s, x, y   O, s   S, s, x, y, z

Allowed substitution hints:   S( t)   N( x, y, z, t, s)   O( x, y, z, t)

Proof of Theorem issros

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2690	. . . 4 |- ( s = S -> ( (/) e. s <-> (/) e. S ) )
2		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( x i^i y ) e. s <-> ( x i^i y ) e. S ) )
3		pweq 4161	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ~P s = ~P S )
4	3	rexeqdv 3145	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( E. z e. ~P s ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) <-> E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) )
5	2, 4	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( ( x i^i y ) e. s /\ E. z e. ~P s ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) <-> ( ( x i^i y ) e. S /\ E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) )
6	5	raleqbi1dv 3146	. . . . 5 |- ( s = S -> ( A. y e. s ( ( x i^i y ) e. s /\ E. z e. ~P s ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) <-> A. y e. S ( ( x i^i y ) e. S /\ E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) )
7	6	raleqbi1dv 3146	. . . 4 |- ( s = S -> ( A. x e. s A. y e. s ( ( x i^i y ) e. s /\ E. z e. ~P s ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) <-> A. x e. S A. y e. S ( ( x i^i y ) e. S /\ E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) )
8	1, 7	anbi12d 747	. . 3 |- ( s = S -> ( ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x i^i y ) e. s /\ E. z e. ~P s ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) <-> ( (/) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x i^i y ) e. S /\ E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) ) )
9		issros.1	. . 3 |- N = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x i^i y ) e. s /\ E. z e. ~P s ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) }
10	8, 9	elrab2 3366	. 2 |- ( S e. N <-> ( S e. ~P ~P O /\ ( (/) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x i^i y ) e. S /\ E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) ) )
11		3anass 1042	. 2 |- ( ( S e. ~P ~P O /\ (/) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x i^i y ) e. S /\ E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) <-> ( S e. ~P ~P O /\ ( (/) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x i^i y ) e. S /\ E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) ) )
12	10, 11	bitr4i 267	1 |- ( S e. N <-> ( S e. ~P ~P O /\ (/) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x i^i y ) e. S /\ E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436  Disj wdisj 4620   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160

This theorem is referenced by:  srossspw  30239  0elsros  30240  inelsros  30241  diffiunisros  30242  rossros  30243