Theorem rossros 30243

Description: Rings of sets are semi-rings of sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rossros.q	|- Q = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) }
rossros.n	|- N = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x i^i y ) e. s /\ E. z e. ~P s ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
rossros	|- ( S e. Q -> S e. N )

Distinct variable groups:   O, s   x, Q, y   S, s, x, y, z   t, s, x, y, z

Allowed substitution hints:   Q( z, t, s)   S( t)   N( x, y, z, t, s)   O( x, y, z, t)

Proof of Theorem rossros

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rossros.q	. . . . 5 |- Q = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) }
2	1	rossspw 30232	. . . 4 |- ( S e. Q -> S C_ ~P O )
3		elpwg 4166	. . . 4 |- ( S e. Q -> ( S e. ~P ~P O <-> S C_ ~P O ) )
4	2, 3	mpbird 247	. . 3 |- ( S e. Q -> S e. ~P ~P O )
5	1	0elros 30233	. . 3 |- ( S e. Q -> (/) e. S )
6		uneq1 3760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = x -> ( u u. v ) = ( x u. v ) )
7	6	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = x -> ( ( u u. v ) e. s <-> ( x u. v ) e. s ) )
8		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = x -> ( u \ v ) = ( x \ v ) )
9	8	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = x -> ( ( u \ v ) e. s <-> ( x \ v ) e. s ) )
10	7, 9	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = x -> ( ( ( u u. v ) e. s /\ ( u \ v ) e. s ) <-> ( ( x u. v ) e. s /\ ( x \ v ) e. s ) ) )
11		uneq2 3761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = y -> ( x u. v ) = ( x u. y ) )
12	11	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = y -> ( ( x u. v ) e. s <-> ( x u. y ) e. s ) )
13		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = y -> ( x \ v ) = ( x \ y ) )
14	13	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = y -> ( ( x \ v ) e. s <-> ( x \ y ) e. s ) )
15	12, 14	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = y -> ( ( ( x u. v ) e. s /\ ( x \ v ) e. s ) <-> ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) )
16	10, 15	cbvral2v 3179	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. s A. v e. s ( ( u u. v ) e. s /\ ( u \ v ) e. s ) <-> A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) )
17	16	anbi2i 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. s /\ A. u e. s A. v e. s ( ( u u. v ) e. s /\ ( u \ v ) e. s ) ) <-> ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) )
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ~P ~P O -> ( ( (/) e. s /\ A. u e. s A. v e. s ( ( u u. v ) e. s /\ ( u \ v ) e. s ) ) <-> ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) ) )
19	18	rabbiia 3185	. . . . . . . 8 |- { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. u e. s A. v e. s ( ( u u. v ) e. s /\ ( u \ v ) e. s ) ) } = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) }
20	1, 19	eqtr4i 2647	. . . . . . 7 |- Q = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. u e. s A. v e. s ( ( u u. v ) e. s /\ ( u \ v ) e. s ) ) }
21	20	inelros 30236	. . . . . 6 |- ( ( S e. Q /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x i^i y ) e. S )
22	21	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( S e. Q /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x i^i y ) e. S )
23	20	difelros 30235	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Q /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x \ y ) e. S )
24	23	3expb 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Q /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x \ y ) e. S )
25	24	snssd 4340	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Q /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> { ( x \ y ) } C_ S )
26		snex 4908	. . . . . . . 8 |- { ( x \ y ) } e. _V
27	26	elpw 4164	. . . . . . 7 |- ( { ( x \ y ) } e. ~P S <-> { ( x \ y ) } C_ S )
28	25, 27	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( S e. Q /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> { ( x \ y ) } e. ~P S )
29		snfi 8038	. . . . . . 7 |- { ( x \ y ) } e. Fin
30	29	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( S e. Q /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> { ( x \ y ) } e. Fin )
31		disjxsn 4646	. . . . . . 7 |- Disj t e. { ( x \ y ) } t
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( S e. Q /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> Disj t e. { ( x \ y ) } t )
33		unisng 4452	. . . . . . . 8 |- ( ( x \ y ) e. S -> U. { ( x \ y ) } = ( x \ y ) )
34	24, 33	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Q /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> U. { ( x \ y ) } = ( x \ y ) )
35	34	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( S e. Q /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x \ y ) = U. { ( x \ y ) } )
36		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( z = { ( x \ y ) } -> ( z e. Fin <-> { ( x \ y ) } e. Fin ) )
37		disjeq1 4627	. . . . . . . 8 |- ( z = { ( x \ y ) } -> (Disj t e. z t <-> Disj t e. { ( x \ y ) } t ) )
38		unieq 4444	. . . . . . . . 9 |- ( z = { ( x \ y ) } -> U. z = U. { ( x \ y ) } )
39	38	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( z = { ( x \ y ) } -> ( ( x \ y ) = U. z <-> ( x \ y ) = U. { ( x \ y ) } ) )
40	36, 37, 39	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 |- ( z = { ( x \ y ) } -> ( ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) <-> ( { ( x \ y ) } e. Fin /\ Disj t e. { ( x \ y ) } t /\ ( x \ y ) = U. { ( x \ y ) } ) ) )
41	40	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( { ( x \ y ) } e. ~P S /\ ( { ( x \ y ) } e. Fin /\ Disj t e. { ( x \ y ) } t /\ ( x \ y ) = U. { ( x \ y ) } ) ) -> E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) )
42	28, 30, 32, 35, 41	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( S e. Q /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) )
43	22, 42	jca 554	. . . 4 |- ( ( S e. Q /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( x i^i y ) e. S /\ E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) )
44	43	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( S e. Q -> A. x e. S A. y e. S ( ( x i^i y ) e. S /\ E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) )
45	4, 5, 44	3jca 1242	. 2 |- ( S e. Q -> ( S e. ~P ~P O /\ (/) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x i^i y ) e. S /\ E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) )
46		rossros.n	. . 3 |- N = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x i^i y ) e. s /\ E. z e. ~P s ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) }
47	46	issros 30238	. 2 |- ( S e. N <-> ( S e. ~P ~P O /\ (/) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x i^i y ) e. S /\ E. z e. ~P S ( z e. Fin /\ Disj t e. z t /\ ( x \ y ) = U. z ) ) ) )
48	45, 47	sylibr 224	1 |- ( S e. Q -> S e. N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436  Disj wdisj 4620   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-1o 7560  df-en 7956  df-fin 7959

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