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Theorem fiunelros 30237
Description: A ring of sets is closed under finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isros.1 |- Q = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) }
fiunelros.1 |- ( ph -> S e. Q )
fiunelros.2 |- ( ph -> N e. NN )
fiunelros.3 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ N ) ) -> B e. S )
Assertion
Ref Expression
fiunelros |- ( ph -> U_ k e. ( 1..^ N ) B e. S )
Distinct variable groups:   O, s   S, s, x, y   k, N   S, k   ph, k
Allowed substitution hints:   ph( x, y, s)   B( x, y, k, s)   Q( x, y, k, s)   N( x, y, s)   O( x, y, k)
Proof of Theorem fiunelros
Dummy variables i n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fiunelros.2 . 2 |- ( ph -> N e. NN )
2 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> N e. NN )
32nnred 11035 . . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> N e. RR )
43leidd 10594 . . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> N <_ N )
5 breq1 4656 . . . . 5 |- ( n = 1 -> ( n <_ N <-> 1 <_ N ) )
6 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ 1 ) )
76iuneq1d 4545 . . . . . 6 |- ( n = 1 -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ 1 ) B )
87eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( n = 1 -> ( U_ k e. ( 1..^ n ) B e. S <-> U_ k e. ( 1..^ 1 ) B e. S ) )
95, 8imbi12d 334 . . . 4 |- ( n = 1 -> ( ( n <_ N -> U_ k e. ( 1..^ n ) B e. S ) <-> ( 1 <_ N -> U_ k e. ( 1..^ 1 ) B e. S ) ) )
10 breq1 4656 . . . . 5 |- ( n = i -> ( n <_ N <-> i <_ N ) )
11 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( n = i -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ i ) )
1211iuneq1d 4545 . . . . . 6 |- ( n = i -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ i ) B )
1312eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( n = i -> ( U_ k e. ( 1..^ n ) B e. S <-> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) )
1410, 13imbi12d 334 . . . 4 |- ( n = i -> ( ( n <_ N -> U_ k e. ( 1..^ n ) B e. S ) <-> ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) )
15 breq1 4656 . . . . 5 |- ( n = ( i + 1 ) -> ( n <_ N <-> ( i + 1 ) <_ N ) )
16 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( n = ( i + 1 ) -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ ( i + 1 ) ) )
1716iuneq1d 4545 . . . . . 6 |- ( n = ( i + 1 ) -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ ( i + 1 ) ) B )
1817eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( n = ( i + 1 ) -> ( U_ k e. ( 1..^ n ) B e. S <-> U_ k e. ( 1..^ ( i + 1 ) ) B e. S ) )
1915, 18imbi12d 334 . . . 4 |- ( n = ( i + 1 ) -> ( ( n <_ N -> U_ k e. ( 1..^ n ) B e. S ) <-> ( ( i + 1 ) <_ N -> U_ k e. ( 1..^ ( i + 1 ) ) B e. S ) ) )
20 breq1 4656 . . . . 5 |- ( n = N -> ( n <_ N <-> N <_ N ) )
21 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( n = N -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ N ) )
2221iuneq1d 4545 . . . . . 6 |- ( n = N -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ N ) B )
2322eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( n = N -> ( U_ k e. ( 1..^ n ) B e. S <-> U_ k e. ( 1..^ N ) B e. S ) )
2420, 23imbi12d 334 . . . 4 |- ( n = N -> ( ( n <_ N -> U_ k e. ( 1..^ n ) B e. S ) <-> ( N <_ N -> U_ k e. ( 1..^ N ) B e. S ) ) )
25 fzo0 12492 . . . . . . . 8 |- ( 1..^ 1 ) = (/)
26 iuneq1 4534 . . . . . . . 8 |- ( ( 1..^ 1 ) = (/) -> U_ k e. ( 1..^ 1 ) B = U_ k e. (/) B )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 |- U_ k e. ( 1..^ 1 ) B = U_ k e. (/) B
28 0iun 4577 . . . . . . 7 |- U_ k e. (/) B = (/)
2927, 28eqtri 2644 . . . . . 6 |- U_ k e. ( 1..^ 1 ) B = (/)
30 fiunelros.1 . . . . . . 7 |- ( ph -> S e. Q )
31 isros.1 . . . . . . . 8 |- Q = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) }
32310elros 30233 . . . . . . 7 |- ( S e. Q -> (/) e. S )
3330, 32syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> (/) e. S )
3429, 33syl5eqel 2705 . . . . 5 |- ( ph -> U_ k e. ( 1..^ 1 ) B e. S )
3534a1d 25 . . . 4 |- ( ph -> ( 1 <_ N -> U_ k e. ( 1..^ 1 ) B e. S ) )
36 simpllr 799 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> i e. NN )
37 fzosplitsn 12576 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1..^ ( i + 1 ) ) = ( ( 1..^ i ) u. { i } ) )
38 nnuz 11723 . . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3937, 38eleq2s 2719 . . . . . . . . 9 |- ( i e. NN -> ( 1..^ ( i + 1 ) ) = ( ( 1..^ i ) u. { i } ) )
4039iuneq1d 4545 . . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> U_ k e. ( 1..^ ( i + 1 ) ) B = U_ k e. ( ( 1..^ i ) u. { i } ) B )
4136, 40syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> U_ k e. ( 1..^ ( i + 1 ) ) B = U_ k e. ( ( 1..^ i ) u. { i } ) B )
42 iunxun 4605 . . . . . . 7 |- U_ k e. ( ( 1..^ i ) u. { i } ) B = ( U_ k e. ( 1..^ i ) B u. U_ k e. { i } B )
4341, 42syl6eq 2672 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> U_ k e. ( 1..^ ( i + 1 ) ) B = ( U_ k e. ( 1..^ i ) B u. U_ k e. { i } B ) )
4430ad3antrrr 766 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> S e. Q )
4536nnred 11035 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> i e. RR )
461ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> N e. NN )
4746nnred 11035 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> N e. RR )
48 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> ( i + 1 ) <_ N )
49 nnltp1le 11433 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. NN /\ N e. NN ) -> ( i < N <-> ( i + 1 ) <_ N ) )
5036, 46, 49syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> ( i < N <-> ( i + 1 ) <_ N ) )
5148, 50mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> i < N )
5245, 47, 51ltled 10185 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> i <_ N )
53 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) )
5452, 53mpd 15 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S )
55 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ i / k ]_ B
56 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> B = [_ i / k ]_ B )
5755, 56iunxsngf 29375 . . . . . . . . 9 |- ( i e. NN -> U_ k e. { i } B = [_ i / k ]_ B )
5836, 57syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> U_ k e. { i } B = [_ i / k ]_ B )
59 simplll 798 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> ph )
60 elfzo1 12517 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1..^ N ) <-> ( i e. NN /\ N e. NN /\ i < N ) )
6136, 46, 51, 60syl3anbrc 1246 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> i e. ( 1..^ N ) )
62 nfv 1843 . . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( ph /\ i e. ( 1..^ N ) )
63 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k S
6455, 63nfel 2777 . . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ i / k ]_ B e. S
6562, 64nfim 1825 . . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ( ph /\ i e. ( 1..^ N ) ) -> [_ i / k ]_ B e. S )
66 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> ( k e. ( 1..^ N ) <-> i e. ( 1..^ N ) ) )
6766anbi2d 740 . . . . . . . . . . 11 |- ( k = i -> ( ( ph /\ k e. ( 1..^ N ) ) <-> ( ph /\ i e. ( 1..^ N ) ) ) )
6856eleq1d 2686 . . . . . . . . . . 11 |- ( k = i -> ( B e. S <-> [_ i / k ]_ B e. S ) )
6967, 68imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( ( ( ph /\ k e. ( 1..^ N ) ) -> B e. S ) <-> ( ( ph /\ i e. ( 1..^ N ) ) -> [_ i / k ]_ B e. S ) ) )
70 fiunelros.3 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1..^ N ) ) -> B e. S )
7165, 69, 70chvar 2262 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 1..^ N ) ) -> [_ i / k ]_ B e. S )
7259, 61, 71syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> [_ i / k ]_ B e. S )
7358, 72eqeltrd 2701 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> U_ k e. { i } B e. S )
7431unelros 30234 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Q /\ U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S /\ U_ k e. { i } B e. S ) -> ( U_ k e. ( 1..^ i ) B u. U_ k e. { i } B ) e. S )
7544, 54, 73, 74syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> ( U_ k e. ( 1..^ i ) B u. U_ k e. { i } B ) e. S )
7643, 75eqeltrd 2701 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) /\ ( i + 1 ) <_ N ) -> U_ k e. ( 1..^ ( i + 1 ) ) B e. S )
7776ex 450 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ ( i <_ N -> U_ k e. ( 1..^ i ) B e. S ) ) -> ( ( i + 1 ) <_ N -> U_ k e. ( 1..^ ( i + 1 ) ) B e. S ) )
789, 14, 19, 24, 35, 77nnindd 29566 . . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( N <_ N -> U_ k e. ( 1..^ N ) B e. S ) )
794, 78mpd 15 . 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> U_ k e. ( 1..^ N ) B e. S )
801, 79mpdan 702 1 |- ( ph -> U_ k e. ( 1..^ N ) B e. S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466
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