Theorem iuncom4 4528

Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom4	|- U_ x e. A U. B = U. U_ x e. A B

Proof of Theorem iuncom4

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. z e. B y e. z <-> E. z ( z e. B /\ y e. z ) )
2	1	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. x e. A E. z ( z e. B /\ y e. z ) )
3		rexcom4 3225	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. z ( z e. B /\ y e. z ) <-> E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) )
4	2, 3	bitri 264	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) )
5		r19.41v 3089	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) <-> ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
6	5	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
7	4, 6	bitri 264	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
8		eluni2 4440	. . . . 5 |- ( y e. U. B <-> E. z e. B y e. z )
9	8	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. U. B <-> E. x e. A E. z e. B y e. z )
10		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. z e. U_ x e. A B y e. z <-> E. z ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) )
11		eliun 4524	. . . . . . 7 |- ( z e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. B )
12	11	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) <-> ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
13	12	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. z ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
14	10, 13	bitri 264	. . . 4 |- ( E. z e. U_ x e. A B y e. z <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
15	7, 9, 14	3bitr4i 292	. . 3 |- ( E. x e. A y e. U. B <-> E. z e. U_ x e. A B y e. z )
16		eliun 4524	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A U. B <-> E. x e. A y e. U. B )
17		eluni2 4440	. . 3 |- ( y e. U. U_ x e. A B <-> E. z e. U_ x e. A B y e. z )
18	15, 16, 17	3bitr4i 292	. 2 |- ( y e. U_ x e. A U. B <-> y e. U. U_ x e. A B )
19	18	eqriv 2619	1 |- U_ x e. A U. B = U. U_ x e. A B

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   U.cuni 4436   U_ciun 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-uni 4437  df-iun 4522

This theorem is referenced by:  ituniiun  9244  tgidm  20784  txcmplem2  21445