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Theorem txcmplem2 21445
Description: Lemma for txcmp 21446. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txcmp.x |- X = U. R
txcmp.y |- Y = U. S
txcmp.r |- ( ph -> R e. Comp )
txcmp.s |- ( ph -> S e. Comp )
txcmp.w |- ( ph -> W C_ ( R tX S ) )
txcmp.u |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. W )
Assertion
Ref Expression
txcmplem2 |- ( ph -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. Y ) = U. v )
Distinct variable groups:   v, S   v, Y   v, W   v, X
Allowed substitution hints:   ph( v)   R( v)
Proof of Theorem txcmplem2
Dummy variables f u x w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcmp.s . . 3 |- ( ph -> S e. Comp )
2 txcmp.x . . . . 5 |- X = U. R
3 txcmp.y . . . . 5 |- Y = U. S
4 txcmp.r . . . . . 6 |- ( ph -> R e. Comp )
54adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> R e. Comp )
61adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> S e. Comp )
7 txcmp.w . . . . . 6 |- ( ph -> W C_ ( R tX S ) )
87adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> W C_ ( R tX S ) )
9 txcmp.u . . . . . 6 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. W )
109adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( X X. Y ) = U. W )
11 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> x e. Y )
122, 3, 5, 6, 8, 10, 11txcmplem1 21444 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> E. u e. S ( x e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
1312ralrimiva 2966 . . 3 |- ( ph -> A. x e. Y E. u e. S ( x e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) )
14 unieq 4444 . . . . 5 |- ( v = ( f ` u ) -> U. v = U. ( f ` u ) )
1514sseq2d 3633 . . . 4 |- ( v = ( f ` u ) -> ( ( X X. u ) C_ U. v <-> ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) )
163, 15cmpcovf 21194 . . 3 |- ( ( S e. Comp /\ A. x e. Y E. u e. S ( x e. u /\ E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. u ) C_ U. v ) ) -> E. w e. ( ~P S i^i Fin ) ( Y = U. w /\ E. f ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) )
171, 13, 16syl2anc 693 . 2 |- ( ph -> E. w e. ( ~P S i^i Fin ) ( Y = U. w /\ E. f ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) )
18 simprrl 804 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> f : w --> ( ~P W i^i Fin ) )
19 ffn 6045 . . . . . . . . . . 11 |- ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) -> f Fn w )
20 fniunfv 6505 . . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn w -> U_ z e. w ( f ` z ) = U. ran f )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> U_ z e. w ( f ` z ) = U. ran f )
22 frn 6053 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) -> ran f C_ ( ~P W i^i Fin ) )
2318, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> ran f C_ ( ~P W i^i Fin ) )
24 inss1 3833 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P W i^i Fin ) C_ ~P W
2523, 24syl6ss 3615 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> ran f C_ ~P W )
26 sspwuni 4611 . . . . . . . . . . 11 |- ( ran f C_ ~P W <-> U. ran f C_ W )
2725, 26sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> U. ran f C_ W )
2821, 27eqsstrd 3639 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> U_ z e. w ( f ` z ) C_ W )
29 vex 3203 . . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
30 fvex 6201 . . . . . . . . . . 11 |- ( f ` z ) e. _V
3129, 30iunex 7147 . . . . . . . . . 10 |- U_ z e. w ( f ` z ) e. _V
3231elpw 4164 . . . . . . . . 9 |- ( U_ z e. w ( f ` z ) e. ~P W <-> U_ z e. w ( f ` z ) C_ W )
3328, 32sylibr 224 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> U_ z e. w ( f ` z ) e. ~P W )
34 inss2 3834 . . . . . . . . . 10 |- ( ~P S i^i Fin ) C_ Fin
35 simplr 792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> w e. ( ~P S i^i Fin ) )
3634, 35sseldi 3601 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> w e. Fin )
37 inss2 3834 . . . . . . . . . . 11 |- ( ~P W i^i Fin ) C_ Fin
38 fss 6056 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ ( ~P W i^i Fin ) C_ Fin ) -> f : w --> Fin )
3918, 37, 38sylancl 694 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> f : w --> Fin )
40 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : w --> Fin /\ z e. w ) -> ( f ` z ) e. Fin )
4140ralrimiva 2966 . . . . . . . . . 10 |- ( f : w --> Fin -> A. z e. w ( f ` z ) e. Fin )
4239, 41syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> A. z e. w ( f ` z ) e. Fin )
43 iunfi 8254 . . . . . . . . 9 |- ( ( w e. Fin /\ A. z e. w ( f ` z ) e. Fin ) -> U_ z e. w ( f ` z ) e. Fin )
4436, 42, 43syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> U_ z e. w ( f ` z ) e. Fin )
4533, 44elind 3798 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> U_ z e. w ( f ` z ) e. ( ~P W i^i Fin ) )
46 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> Y = U. w )
47 uniiun 4573 . . . . . . . . . . . . 13 |- U. w = U_ z e. w z
4846, 47syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> Y = U_ z e. w z )
4948xpeq2d 5139 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> ( X X. Y ) = ( X X. U_ z e. w z ) )
50 xpiundi 5173 . . . . . . . . . . 11 |- ( X X. U_ z e. w z ) = U_ z e. w ( X X. z )
5149, 50syl6eq 2672 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> ( X X. Y ) = U_ z e. w ( X X. z ) )
52 simprrr 805 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) )
53 xpeq2 5129 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> ( X X. u ) = ( X X. z ) )
54 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = z -> ( f ` u ) = ( f ` z ) )
5554unieqd 4446 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = z -> U. ( f ` u ) = U. ( f ` z ) )
5653, 55sseq12d 3634 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) <-> ( X X. z ) C_ U. ( f ` z ) ) )
5756cbvralv 3171 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) <-> A. z e. w ( X X. z ) C_ U. ( f ` z ) )
5852, 57sylib 208 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> A. z e. w ( X X. z ) C_ U. ( f ` z ) )
59 ss2iun 4536 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. w ( X X. z ) C_ U. ( f ` z ) -> U_ z e. w ( X X. z ) C_ U_ z e. w U. ( f ` z ) )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> U_ z e. w ( X X. z ) C_ U_ z e. w U. ( f ` z ) )
6151, 60eqsstrd 3639 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> ( X X. Y ) C_ U_ z e. w U. ( f ` z ) )
6218ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) /\ z e. w ) -> ( f ` z ) e. ( ~P W i^i Fin ) )
6324, 62sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) /\ z e. w ) -> ( f ` z ) e. ~P W )
64 elpwi 4168 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` z ) e. ~P W -> ( f ` z ) C_ W )
65 uniss 4458 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` z ) C_ W -> U. ( f ` z ) C_ U. W )
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) /\ z e. w ) -> U. ( f ` z ) C_ U. W )
679ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) /\ z e. w ) -> ( X X. Y ) = U. W )
6866, 67sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) /\ z e. w ) -> U. ( f ` z ) C_ ( X X. Y ) )
6968ralrimiva 2966 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> A. z e. w U. ( f ` z ) C_ ( X X. Y ) )
70 iunss 4561 . . . . . . . . . 10 |- ( U_ z e. w U. ( f ` z ) C_ ( X X. Y ) <-> A. z e. w U. ( f ` z ) C_ ( X X. Y ) )
7169, 70sylibr 224 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> U_ z e. w U. ( f ` z ) C_ ( X X. Y ) )
7261, 71eqssd 3620 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> ( X X. Y ) = U_ z e. w U. ( f ` z ) )
73 iuncom4 4528 . . . . . . . 8 |- U_ z e. w U. ( f ` z ) = U. U_ z e. w ( f ` z )
7472, 73syl6eq 2672 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> ( X X. Y ) = U. U_ z e. w ( f ` z ) )
75 unieq 4444 . . . . . . . . 9 |- ( v = U_ z e. w ( f ` z ) -> U. v = U. U_ z e. w ( f ` z ) )
7675eqeq2d 2632 . . . . . . . 8 |- ( v = U_ z e. w ( f ` z ) -> ( ( X X. Y ) = U. v <-> ( X X. Y ) = U. U_ z e. w ( f ` z ) ) )
7776rspcev 3309 . . . . . . 7 |- ( ( U_ z e. w ( f ` z ) e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( X X. Y ) = U. U_ z e. w ( f ` z ) ) -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. Y ) = U. v )
7845, 74, 77syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ ( Y = U. w /\ ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) ) -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. Y ) = U. v )
7978expr 643 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ Y = U. w ) -> ( ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. Y ) = U. v ) )
8079exlimdv 1861 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) /\ Y = U. w ) -> ( E. f ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. Y ) = U. v ) )
8180expimpd 629 . . 3 |- ( ( ph /\ w e. ( ~P S i^i Fin ) ) -> ( ( Y = U. w /\ E. f ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. Y ) = U. v ) )
8281rexlimdva 3031 . 2 |- ( ph -> ( E. w e. ( ~P S i^i Fin ) ( Y = U. w /\ E. f ( f : w --> ( ~P W i^i Fin ) /\ A. u e. w ( X X. u ) C_ U. ( f ` u ) ) ) -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. Y ) = U. v ) )
8317, 82mpd 15 1 |- ( ph -> E. v e. ( ~P W i^i Fin ) ( X X. Y ) = U. v )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Compccmp 21189   tX ctx 21363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-tx 21365
This theorem is referenced by:  txcmp  21446
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