Theorem rexcom4 3225

Description: Commutation of restricted and unrestricted existential quantifiers. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexcom4	|- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem rexcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 3099	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. y e. _V E. x e. A ph )
2		rexv 3220	. . 3 |- ( E. y e. _V ph <-> E. y ph )
3	2	rexbii 3041	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. _V ph <-> E. x e. A E. y ph )
4		rexv 3220	. 2 |- ( E. y e. _V E. x e. A ph <-> E. y E. x e. A ph )
5	1, 3, 4	3bitr3i 290	1 |- ( E. x e. A E. y ph <-> E. y E. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 196   E.wex 1704   E.wrex 2913   _Vcvv 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202

This theorem is referenced by:  rexcom4a  3226  reuind  3411  uni0b  4463  iuncom4  4528  dfiun2g  4552  iunn0  4580  iunxiun  4608  iinexg  4824  inuni  4826  iunopab  5012  xpiundi  5173  xpiundir  5174  cnvuni  5309  dmiun  5333  elres  5435  elsnres  5436  rniun  5543  xpdifid  5562  imaco  5640  coiun  5645  abrexco  6502  imaiun  6503  fliftf  6565  fun11iun  7126  oprabrexex2  7158  releldm2  7218  oarec  7642  omeu  7665  eroveu  7842  dfac5lem2  8947  genpass  9831  supaddc  10990  supadd  10991  supmul1  10992  supmullem2  10994  supmul  10995  pceu  15551  4sqlem12  15660  mreiincl  16256  psgneu  17926  ntreq0  20881  unisngl  21330  metrest  22329  metuel2  22370  istrkg2ld  25359  fpwrelmapffslem  29507  omssubaddlem  30361  omssubadd  30362  bnj906  31000  nosupno  31849  nosupfv  31852  bj-elsngl  32956  bj-restn0  33043  ismblfin  33450  itg2addnclem3  33463  sdclem1  33539  prter2  34166  lshpsmreu  34396  islpln5  34821  islvol5  34865  cdlemftr3  35853  mapdpglem3  36964  hdmapglem7a  37219  diophrex  37339  imaiun1  37943  coiun1  37944  upbdrech  39519