Theorem lpni 27332

Description: For any line in a planar incidence geometry, there exists a point not on the line. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Aug-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
l2p.1	|- P = U. G

Assertion

Ref	Expression
lpni	|- ( ( G e. Plig /\ L e. G ) -> E. a e. P a e/ L )

Distinct variable groups:   G, a   L, a   P, a

Proof of Theorem lpni

Dummy variables b c l d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		l2p.1	. . . 4 |- P = U. G
2	1	tncp 27330	. . 3 |- ( G e. Plig -> E. b e. P E. c e. P E. d e. P A. l e. G -. ( b e. l /\ c e. l /\ d e. l ) )
3		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( l = L -> ( b e. l <-> b e. L ) )
4		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( l = L -> ( c e. l <-> c e. L ) )
5		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( l = L -> ( d e. l <-> d e. L ) )
6	3, 4, 5	3anbi123d 1399	. . . . . . . . 9 |- ( l = L -> ( ( b e. l /\ c e. l /\ d e. l ) <-> ( b e. L /\ c e. L /\ d e. L ) ) )
7	6	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( l = L -> ( -. ( b e. l /\ c e. l /\ d e. l ) <-> -. ( b e. L /\ c e. L /\ d e. L ) ) )
8	7	rspccv 3306	. . . . . . 7 |- ( A. l e. G -. ( b e. l /\ c e. l /\ d e. l ) -> ( L e. G -> -. ( b e. L /\ c e. L /\ d e. L ) ) )
9		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( a e. L <-> b e. L ) )
10	9	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = b -> ( -. a e. L <-> -. b e. L ) )
11	10	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. P /\ -. b e. L ) -> E. a e. P -. a e. L )
12	11	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( b e. P -> ( -. b e. L -> E. a e. P -. a e. L ) )
13		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( a e. L <-> c e. L ) )
14	13	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = c -> ( -. a e. L <-> -. c e. L ) )
15	14	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. P /\ -. c e. L ) -> E. a e. P -. a e. L )
16	15	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( c e. P -> ( -. c e. L -> E. a e. P -. a e. L ) )
17		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = d -> ( a e. L <-> d e. L ) )
18	17	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = d -> ( -. a e. L <-> -. d e. L ) )
19	18	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d e. P /\ -. d e. L ) -> E. a e. P -. a e. L )
20	19	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( d e. P -> ( -. d e. L -> E. a e. P -. a e. L ) )
21	12, 16, 20	3jaao 1396	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. P /\ c e. P /\ d e. P ) -> ( ( -. b e. L \/ -. c e. L \/ -. d e. L ) -> E. a e. P -. a e. L ) )
22		3ianor 1055	. . . . . . . 8 |- ( -. ( b e. L /\ c e. L /\ d e. L ) <-> ( -. b e. L \/ -. c e. L \/ -. d e. L ) )
23		df-nel 2898	. . . . . . . . 9 |- ( a e/ L <-> -. a e. L )
24	23	rexbii 3041	. . . . . . . 8 |- ( E. a e. P a e/ L <-> E. a e. P -. a e. L )
25	21, 22, 24	3imtr4g 285	. . . . . . 7 |- ( ( b e. P /\ c e. P /\ d e. P ) -> ( -. ( b e. L /\ c e. L /\ d e. L ) -> E. a e. P a e/ L ) )
26	8, 25	syl9r 78	. . . . . 6 |- ( ( b e. P /\ c e. P /\ d e. P ) -> ( A. l e. G -. ( b e. l /\ c e. l /\ d e. l ) -> ( L e. G -> E. a e. P a e/ L ) ) )
27	26	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( b e. P /\ c e. P ) -> ( d e. P -> ( A. l e. G -. ( b e. l /\ c e. l /\ d e. l ) -> ( L e. G -> E. a e. P a e/ L ) ) ) )
28	27	rexlimdv 3030	. . . 4 |- ( ( b e. P /\ c e. P ) -> ( E. d e. P A. l e. G -. ( b e. l /\ c e. l /\ d e. l ) -> ( L e. G -> E. a e. P a e/ L ) ) )
29	28	rexlimivv 3036	. . 3 |- ( E. b e. P E. c e. P E. d e. P A. l e. G -. ( b e. l /\ c e. l /\ d e. l ) -> ( L e. G -> E. a e. P a e/ L ) )
30	2, 29	syl 17	. 2 |- ( G e. Plig -> ( L e. G -> E. a e. P a e/ L ) )
31	30	imp 445	1 |- ( ( G e. Plig /\ L e. G ) -> E. a e. P a e/ L )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   U.cuni 4436   Pligcplig 27326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-v 3202  df-uni 4437  df-plig 27327

This theorem is referenced by: (None)