Theorem l2p 27331

Description: For any line in a planar incidence geometry, there exist two different points on the line. (Contributed by AV, 28-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
l2p.1	|- P = U. G

Assertion

Ref	Expression
l2p	|- ( ( G e. Plig /\ L e. G ) -> E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. L /\ b e. L ) )

Distinct variable groups:   a, b, G   L, a, b   P, a, b

Proof of Theorem l2p

Dummy variables c l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		l2p.1	. . . . 5 |- P = U. G
2	1	isplig 27328	. . . 4 |- ( G e. Plig -> ( G e. Plig <-> ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) ) )
3		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( l = L -> ( a e. l <-> a e. L ) )
4		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( l = L -> ( b e. l <-> b e. L ) )
5	3, 4	3anbi23d 1402	. . . . . . 7 |- ( l = L -> ( ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) <-> ( a =/= b /\ a e. L /\ b e. L ) ) )
6	5	2rexbidv 3057	. . . . . 6 |- ( l = L -> ( E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) <-> E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. L /\ b e. L ) ) )
7	6	rspccv 3306	. . . . 5 |- ( A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) -> ( L e. G -> E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. L /\ b e. L ) ) )
8	7	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) -> ( L e. G -> E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. L /\ b e. L ) ) )
9	2, 8	syl6bi 243	. . 3 |- ( G e. Plig -> ( G e. Plig -> ( L e. G -> E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. L /\ b e. L ) ) ) )
10	9	pm2.43i 52	. 2 |- ( G e. Plig -> ( L e. G -> E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. L /\ b e. L ) ) )
11	10	imp 445	1 |- ( ( G e. Plig /\ L e. G ) -> E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. L /\ b e. L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   U.cuni 4436   Pligcplig 27326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-v 3202  df-uni 4437  df-plig 27327

This theorem is referenced by:  nsnlplig  27333  nsnlpligALT  27334  n0lpligALT  27336