Theorem modfsummodslem1 14524

Description: Lemma 1 for modfsummods 14525. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modfsummodslem1	|- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )

Distinct variable groups:   A, k   z, k

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z, k)

Proof of Theorem modfsummodslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnid 4209	. . 3 |- z e. { z }
2		elun2 3781	. . 3 |- ( z e. { z } -> z e. ( A u. { z } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- z e. ( A u. { z } )
4		rspcsbela 4006	. 2 |- ( ( z e. ( A u. { z } ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
5	3, 4	mpan 706	1 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   u. cun 3572   {csn 4177   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178

This theorem is referenced by:  modfsummods  14525