Theorem modfsummods 14525

Description: Induction step for modfsummod 14526. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modfsummods	|- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   z, k

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z, k)   N( z)

Proof of Theorem modfsummods

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4339	. . 3 |- ( z e. A -> { z } C_ A )
2		ssequn1 3783	. . . 4 |- ( { z } C_ A <-> ( { z } u. A ) = A )
3		uncom 3757	. . . . . . . 8 |- ( { z } u. A ) = ( A u. { z } )
4	3	eqeq1i 2627	. . . . . . 7 |- ( ( { z } u. A ) = A <-> ( A u. { z } ) = A )
5		sumeq1 14419	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( A u. { z } ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. ( A u. { z } ) B )
6	5	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( A u. { z } ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) )
7		sumeq1 14419	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( A u. { z } ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) = sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) )
8	7	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( A u. { z } ) -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
9	6, 8	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( A = ( A u. { z } ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
10	9	eqcoms 2630	. . . . . . 7 |- ( ( A u. { z } ) = A -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
11	4, 10	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( ( { z } u. A ) = A -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
12	11	biimpd 219	. . . . 5 |- ( ( { z } u. A ) = A -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
13	12	a1d 25	. . . 4 |- ( ( { z } u. A ) = A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
14	2, 13	sylbi 207	. . 3 |- ( { z } C_ A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
15	1, 14	syl 17	. 2 |- ( z e. A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
16		df-nel 2898	. . 3 |- ( z e/ A <-> -. z e. A )
17		simp1 1061	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A e. Fin )
18	17	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> A e. Fin )
19		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> z e/ A )
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> z e/ A )
21		vex 3203	. . . . . . . 8 |- z e. _V
22	20, 21	jctil 560	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( z e. _V /\ z e/ A ) )
23		simplr3 1105	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
24		fsumsplitsnun 14484	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
25	18, 22, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
26	25	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
27		ralunb 3794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
28		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> A. k e. A B e. ZZ )
29	27, 28	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. A B e. ZZ )
30		fsumzcl2 14469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
31	29, 30	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
32	31	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
34	33	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> sum_ k e. A B e. RR )
35		modfsummodslem1 14524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
36	35	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
38	37	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
39		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
40	39	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> N e. RR+ )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> N e. RR+ )
42		modaddabs 12708	. . . . . . . . 9 |- ( ( sum_ k e. A B e. RR /\ [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
43	34, 38, 41, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
44	43	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
45	44	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
46		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
47	35	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. RR )
48	47	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
50	49, 41	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) )
52		modabs2 12704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
53	52	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) = ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) )
54	51, 53	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) = ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) )
55	46, 54	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) )
56	55	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
57	45, 56	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
58		zmodcl 12690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. NN0 )
59	58	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. ZZ )
60	59	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( B e. ZZ -> ( B mod N ) e. ZZ ) )
61	60	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> ( A. k e. A B e. ZZ -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
62	61	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. A B e. ZZ -> ( N e. NN -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( N e. NN -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
64	27, 63	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> ( N e. NN -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
65	64	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
66	65	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
67	17, 66	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
68		fsumzcl2 14469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
69	68	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
70	67, 69	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
71	70	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
72	35	anim1i 592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ N e. NN ) )
73	72	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ N e. NN ) )
74		zmodcl 12690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 )
76	75	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
77	76	3adant1 1079	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
78	77	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
79	40	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> N e. RR+ )
80		modaddabs 12708	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR /\ ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
81	71, 78, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
82	60	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) )
83	82	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
84	83	3adant1 1079	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
85	84	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
86		fsumsplitsnun 14484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ A ) /\ A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
87	18, 22, 85, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
88		csbov1g 6690	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
89	21, 88	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
90	89	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) )
91	87, 90	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) )
92	91	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) )
93	92	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
94	81, 93	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
95	26, 57, 94	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
96	95	exp31 630	. . 3 |- ( z e/ A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
97	16, 96	sylbir 225	. 2 |- ( -. z e. A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
98	15, 97	pm2.61i 176	1 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   + caddc 9939   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   mod cmo 12668   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  modfsummod  14526