Theorem nfriotad 6619

Description: Deduction version of nfriota 6620. (Contributed by NM, 18-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfriotad.1	|- F/ y ph
nfriotad.2	|- ( ph -> F/ x ps )
nfriotad.3	|- ( ph -> F/_ x A )

Assertion

Ref	Expression
nfriotad	|- ( ph -> F/_ x ( iota_ y e. A ps ) )

Proof of Theorem nfriotad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-riota 6611	. 2 |- ( iota_ y e. A ps ) = ( iota y ( y e. A /\ ps ) )
2		nfriotad.1	. . . . . 6 |- F/ y ph
3		nfnae 2318	. . . . . 6 |- F/ y -. A. x x = y
4	2, 3	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ y ( ph /\ -. A. x x = y )
5		nfcvf 2788	. . . . . . . 8 |- ( -. A. x x = y -> F/_ x y )
6	5	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A. x x = y ) -> F/_ x y )
7		nfriotad.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F/_ x A )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A. x x = y ) -> F/_ x A )
9	6, 8	nfeld 2773	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A. x x = y ) -> F/ x y e. A )
10		nfriotad.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> F/ x ps )
11	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A. x x = y ) -> F/ x ps )
12	9, 11	nfand 1826	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A. x x = y ) -> F/ x ( y e. A /\ ps ) )
13	4, 12	nfiotad 5854	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A. x x = y ) -> F/_ x ( iota y ( y e. A /\ ps ) ) )
14	13	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( -. A. x x = y -> F/_ x ( iota y ( y e. A /\ ps ) ) ) )
15		nfiota1 5853	. . . 4 |- F/_ y ( iota y ( y e. A /\ ps ) )
16		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( A. x x = y -> ( iota y ( y e. A /\ ps ) ) = ( iota y ( y e. A /\ ps ) ) )
17	16	drnfc1 2782	. . . 4 |- ( A. x x = y -> ( F/_ x ( iota y ( y e. A /\ ps ) ) <-> F/_ y ( iota y ( y e. A /\ ps ) ) ) )
18	15, 17	mpbiri 248	. . 3 |- ( A. x x = y -> F/_ x ( iota y ( y e. A /\ ps ) ) )
19	14, 18	pm2.61d2 172	. 2 |- ( ph -> F/_ x ( iota y ( y e. A /\ ps ) ) )
20	1, 19	nfcxfrd 2763	1 |- ( ph -> F/_ x ( iota_ y e. A ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   iotacio 5849   iota_crio 6610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-sn 4178  df-uni 4437  df-iota 5851  df-riota 6611

This theorem is referenced by:  nfriota  6620