Theorem prprc1 4300

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 15-Jul-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	|- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 4253	. 2 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
2		uneq1 3760	. . 3 |- ( { A } = (/) -> ( { A } u. { B } ) = ( (/) u. { B } ) )
3		df-pr 4180	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
4		uncom 3757	. . . 4 |- ( (/) u. { B } ) = ( { B } u. (/) )
5		un0 3967	. . . 4 |- ( { B } u. (/) ) = { B }
6	4, 5	eqtr2i 2645	. . 3 |- { B } = ( (/) u. { B } )
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2681	. 2 |- ( { A } = (/) -> { A , B } = { B } )
8	1, 7	sylbi 207	1 |- ( -. A e. _V -> { A , B } = { B } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by:  prprc2  4301  prprc  4302  prex  4909  elprchashprn2  13184  elsprel  41725