Theorem r19.30 3082

Description: Restricted quantifier version of 19.30 1809. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
r19.30	|- ( A. x e. A ( ph \/ ps ) -> ( A. x e. A ph \/ E. x e. A ps ) )

Proof of Theorem r19.30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralim 2948	. 2 |- ( A. x e. A ( -. ps -> ph ) -> ( A. x e. A -. ps -> A. x e. A ph ) )
2		orcom 402	. . . 4 |- ( ( ph \/ ps ) <-> ( ps \/ ph ) )
3		df-or 385	. . . 4 |- ( ( ps \/ ph ) <-> ( -. ps -> ph ) )
4	2, 3	bitri 264	. . 3 |- ( ( ph \/ ps ) <-> ( -. ps -> ph ) )
5	4	ralbii 2980	. 2 |- ( A. x e. A ( ph \/ ps ) <-> A. x e. A ( -. ps -> ph ) )
6		orcom 402	. . 3 |- ( ( A. x e. A ph \/ -. A. x e. A -. ps ) <-> ( -. A. x e. A -. ps \/ A. x e. A ph ) )
7		dfrex2 2996	. . . 4 |- ( E. x e. A ps <-> -. A. x e. A -. ps )
8	7	orbi2i 541	. . 3 |- ( ( A. x e. A ph \/ E. x e. A ps ) <-> ( A. x e. A ph \/ -. A. x e. A -. ps ) )
9		imor 428	. . 3 |- ( ( A. x e. A -. ps -> A. x e. A ph ) <-> ( -. A. x e. A -. ps \/ A. x e. A ph ) )
10	6, 8, 9	3bitr4i 292	. 2 |- ( ( A. x e. A ph \/ E. x e. A ps ) <-> ( A. x e. A -. ps -> A. x e. A ph ) )
11	1, 5, 10	3imtr4i 281	1 |- ( A. x e. A ( ph \/ ps ) -> ( A. x e. A ph \/ E. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   A.wral 2912   E.wrex 2913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ex 1705  df-ral 2917  df-rex 2918

This theorem is referenced by:  disjunsn  29407  esumcvg  30148